Question

Допоможіть розв'язати комплексне число(4 + 3i)/(3 - 4i) - (5 - 4i)/(4 + 5i)​

Answer 1

Щоб розв'язати вираз (4 + 3i)/(3 - 4i) - (5 - 4i)/(4 + 5i), спростимо його за допомогою операцій з комплексними числами.

1. Спростимо перший дріб (4 + 3i)/(3 - 4i) за допомогою множення на спряжене комплексне число (3 + 4i) / (3 + 4i):

(4 + 3i)/(3 - 4i) * (3 + 4i)/(3 + 4i)

Розрахунок чисельника: (4 + 3i) * (3 + 4i) = 12 + 16i + 9i - 12 = 12 + 25i - 12 = 25i

Розрахунок знаменника: (3 - 4i) * (3 + 4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 - 16i^2 = 9 - 16 * (-1) // оскільки i^2 = -1 = 9 + 16 = 25

Тепер отримали новий дріб: (25i) / 25. Розділимо чисельник на знаменник:

(25i) / 25 = i

2. Тепер спростимо другий дріб (5 - 4i)/(4 + 5i) аналогічно, множачи чисельник і знаменник на спряжене комплексне число (4 - 5i) / (4 - 5i):

(5 - 4i)/(4 + 5i) * (4 - 5i)/(4 - 5i)

Розрахунок чисельника: (5 - 4i) * (4 - 5i) = 20 - 25i - 16i + 20i^2 = 20 - 25i - 16i - 20 // оскільки i^2 = -1 = (20 - 20) + (-25i - 16i) = -41i

Розрахунок знаменника: (4 + 5i) * (4 - 5i) = 16 - 20i + 20i - 25i^2 = 16 - 25i^2 = 16 - 25 * (-1) // оскільки i^2 = -1 = 16 + 25 = 41

Тепер отримали новий дріб: (-41i) / 41. Розділимо чисельник на знаменник:

(-41i) / 41 = -i

3. Тепер ми можемо обчислити вираз (4 + 3i)/(3 - 4i) - (5 - 4i)/(4 + 5i) як суму наших результатів:

i - (-i) = i + i = 2i

Отже, відповідь на ваш вираз дорівнює 2i.

Answer 2

Щоб розв'язати вираз, спростимо його, використовуючи правила дій з комплексними числами. Давайте спочатку розглянемо обидва дроби окремо:

1. (4 + 3i) / (3 - 4i):

   Ми хочемо позбутися знаменника з комплексним числом у дробі. Для цього ми помножимо чисельник і знаменник на комплексно спряжене знаменника:

   (4 + 3i) * (3 + 4i) / ((3 - 4i) * (3 + 4i))

   Тепер розгорнемо чисельник і знаменник:

   Чисельник: (4 + 3i) * (3 + 4i) = 12 + 16i + 9i + 12i^2 = 12 + 25i - 12 = 25i

   Знаменник: (3 - 4i) * (3 + 4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 - 16i^2

   Зауважте, що i^2 = -1, тому ми можемо замінити його:

   Знаменник: 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25

   Тепер наша перша дробу має вигляд (25i / 25), і ми можемо спростити його, розділивши чисельник і знаменник на 25:

   (25i / 25) = i

2. (5 - 4i) / (4 + 5i):

   Ми знову хочемо позбутися знаменника з комплексним числом у дробі. Повторимо той самий процес, помноживши чисельник і знаменник на комплексно спряжене знаменника:

   (5 - 4i) * (4 - 5i) / ((4 + 5i) * (4 - 5i))

   Тепер розгорнемо чисельник і знаменник:

   Чисельник: (5 - 4i) * (4 - 5i) = 20 - 25i - 16i + 20i^2 = 20 - 41i - 20 = -41i

   Знаменник: (4 + 5i) * (4 - 5i) = 16 - 20i + 20i - 25i^2 = 16 - 25i^2

   Знову використовуємо, що i^2 = -1:

   Знаменник: 16 - 25(-1) = 16 + 25 = 41

   Тепер друга дробу має вигляд (-41i / 41), і ми можемо спростити його, розділивши чисельник і знаменник на 41:

   (-41i / 41) = -i

Отже, ми отримали значення обох дробів:

1. (4 + 3i) / (3 - 4i) = i
2. (5 - 4i) / (4 + 5i) = -i

Тепер можемо обчислити вираз віднімання цих дробів:

i - (-i) = i + i = 2i

Отже, вираз (4 + 3i) / (3 - 4i) - (5 - 4i) / (4 + 5i) дорівнює 2i.