Question

УМОЛЯЮ ПОМОГИТЕ 1. Имеется 13 дробей, числителями и знаменателями которых являются числа 1, 2, 3, ..., 26. Каждое число встречается ровно один раз, независимо от того, в числителе или знаменателе оно стоит. Какое наибольшее число ЭТИх дробей могут выражать целые числа? ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ПЛИЗЗЗ

Answer 1

Ответ:

Максимум 11 дробей могут выражать целые числа

Решение:

Разобьем числа от 1 до 26 на две группы: от 1 до 13 и от 14 до 26.

Каждое число из первой группы (от 1 до 13) в теории может быть записано в дроби, выражающей целое число. Например, каждое из этих чисел может стоять в знаменателе дроби, а в числителе при этом может стоять число, в 2 раза большее - это четные числа от 2 до 26, все эти числа есть в наличии.

Теперь рассмотрим вторую группу (от 14 до 26). Заметим, что в ней имеется 3 простых числа: 17, 19, 23. Для получения дроби, выражающей целое число, в знаменателе никакое из этих чисел стоять не может, так как в числителе для этого должно стоять число, хотя бы в 2 раза большее, но наибольшее число из имеющихся - это 26. В числителе же эти числа стоять могут, при условии, что в знаменателе будет стоять число 1. Но поскольку число 1 можно использовать только один раз, то как минимум два числа окажутся в этой ситуации без подходящего числа в знаменателе. Таким образом, хотя бы две дроби не будут выражать целое число.

Расстановку, при которой ровно две дроби не выражают целые числа, показать можно:

$\dfrac{26}{13} ;\ \dfrac{25}{5} ;\ \dfrac{24}{12} ;\ \dfrac{23}{1} ;\ \dfrac{22}{11} ;\ \dfrac{21}{7} ;\ \dfrac{20}{10} ;\ \dfrac{19}{*} ;\ \dfrac{18}{9} ;\ \dfrac{17}{*} ;\ \dfrac{16}{8} ;\ \dfrac{15}{3} ;\ \dfrac{14}{2}$

Вместо звездочек в данной расстановке можно дописать оставшиеся числа 4 и 6 в любой последовательности. Дроби с участием этих чисел не выражают целые числа, остальные 11 дробей - выражают целые числа.

Таким образом, больше 11 дробей выражать целые числа не могут, а для 11 дробей была показана расстановка.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно рассмотреть различные комбинации чисел в числителях и знаменателях, чтобы найти максимальное количество дробей, которые могут выражать целые числа.

Для начала, мы можем заметить, что если число в числителе и знаменателе одной и той же дроби взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), то дробь будет несократимой и не будет выражать целое число.

Теперь давайте рассмотрим, какие числа в диапазоне от 1 до 26 являются взаимно простыми друг с другом:

1 - все числа взаимно просты с 1. 2 - взаимно прост с 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25. 3 - взаимно прост с 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26. 4 - не является взаимно простым с 2, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26. 5 - взаимно прост с 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 26. ... 26 - взаимно прост с 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25.

Теперь мы видим, что число 4 не взаимно просто с многими другими числами в этом диапазоне. Таким образом, чтобы максимизировать количество дробей, которые могут выражать целые числа, мы должны выбрать число 4 в числителе или знаменателе для как можно большего числа дробей.

Посмотрим, сколько таких дробей можно составить. Всего чисел от 1 до 26 - 26 штук. Если мы используем число 4 в числителе или знаменателе, то у нас остается 25 чисел, которые могут быть использованы в другой части дроби. Таким образом, максимальное количество дробей, которые могут выражать целые числа, это 25 дробей.

Итак, наибольшее количество дробей, которые могут выражать целые числа, равно 25.