Question

На доске записаны 3 натуральных числа. На каждом шагу Аран заменяет самую маленькую из написанных на доске сов произведением двух других (если самая маленькая не единственная, он выбирает одну из них). Можно ли написать на доске число 23 после 3 шагов? Изменится ли ответ на задачу, если количество шагов равно 4?

Answer 1

Давайте рассмотрим эту задачу.

Изначально, у нас есть три натуральных числа на доске: a, b и c.

На каждом шаге мы заменяем самую маленькую из написанных чисел (скажем, это "a") произведением двух других чисел (b и c).

Таким образом, после первого шага у нас на доске останется два числа: b и c, а третье число "a" будет заменено на b * c.

После второго шага у нас останется число b (самое маленькое из двух оставшихся чисел) и число "b * c" будет заменено на "b * b * c".

На третьем шаге, после замены "b * c" на "b * b * c", у нас на доске останется число "b" и число "b * b * c", и мы заменим "b" на "b * b * c".

Теперь у нас на доске останется только одно число "b * b * c".

Поскольку изначально у нас были три натуральных числа, мы можем записать начальное состояние как "a, b, c" и конечное состояние как "b * b * c".

Таким образом, мы можем утверждать, что после трех шагов мы можем получить число вида "b * b * c".

Ответ на вопрос:

Мы хотим записать на доске число 23. Рассмотрим простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Попробуем разложить 23 на произведение двух таких чисел: 23 = 1 * 23 или 23 = 7 * 3. Очевидно, невозможно представить 23 в виде "b * b * c". Таким образом, нельзя записать на доске число 23 после трех шагов.

Изменение ответа при четырех шагах:

С учетом анализа выше, давайте рассмотрим возможность записи числа 23 после четырех шагов. Мы видим, что 23 не раскладывается на произведение двух простых чисел. Поэтому, даже при четырех шагах, мы не сможем получить число 23 на доске.

Answer 2

Давайте рассмотрим эту задачу.

На первом этапе у нас есть 3 натуральных числа. Для удобства обозначим их a, b и c, где a ≤ b ≤ c.

На каждом шаге Аран заменяет самое маленькое из этих чисел (a) произведением двух других (b и c). Таким образом, после первого шага у нас останется два числа: b и c.

После второго шага Аран заменяет самое маленькое из этих двух чисел (b) произведением двух других (b и c). Теперь у нас останется одно число: c.

После третьего шага у нас останется только одно число, которое будет равно произведению всех трех исходных чисел: a * b * c.

Теперь давайте рассмотрим несколько случаев:

1. Если начальные числа a, b и c равны 1, то после трех шагов на доске будет число 1 * 1 * 1 = 1.

2. Если начальные числа a, b и c равны 2, то после трех шагов на доске будет число 2 * 2 * 2 = 8.

3. Если начальные числа a, b и c равны 3, то после трех шагов на доске будет число 3 * 3 * 3 = 27.

Из приведенных примеров видно, что число 23 невозможно получить после трех шагов. Как видно, после трех шагов получаются только числа, которые являются кубами натуральных чисел.

Теперь рассмотрим случай с четырьмя шагами. После четырех шагов у нас останется одно число, которое будет равно произведению исходных трех чисел a, b и c.

1. Если начальные числа a, b и c равны 1, то после четырех шагов на доске будет число 1 * 1 * 1 = 1.

2. Если начальные числа a, b и c равны 2, то после четырех шагов на доске будет число 2 * 2 * 2 = 8.

3. Если начальные числа a, b и c равны 3, то после четырех шагов на доске будет число 3 * 3 * 3 = 27.

Из приведенных примеров видно, что даже после четырех шагов невозможно получить число 23.

Таким образом, ответ на задачу остается неизменным: число 23 невозможно получить ни после трех, ни после четырех шагов, так как получаются только числа, являющиеся кубами натуральных чисел.