Question

Построить линию второго порядка и определить её основные характеристики xy-x+3y-7=0

Answer 1

Вот вроде так...................

Answer 2

Уравнение $xy - x + 3y - 7 = 0$ представляет собой уравнение второго порядка в двумерном пространстве. Давайте преобразуем его в стандартную форму для канонического уравнения второго порядка:

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$

В вашем случае: $xy - x + 3y - 7 = 0$

Перегруппируем члены: $xy - x + 3y = 7.$

Теперь давайте выразим $x$ и $y$ через вышеуказанные коэффициенты:

$xy - x + 3y = 7 \Rightarrow xy = x - 3y + 7.$

Теперь у нас есть:

$x = xy - 3y + 7.$

Теперь мы видим, что это уравнение представляет собой параболу в общем виде. Давайте определим её характеристики.

1. Фокусное расстояние ($d$):

Для нахождения фокусного расстояния, нужно выразить его через коэффициенты $A$, $B$ и $C$ в каноническом уравнении:

$d = \sqrt{\frac{B^2 - 4AC}{4A^2 + 4C^2 - B^2}}.$

В нашем случае $A = 0$, $B = 1$ и $C = -3$, так что:

$d = \sqrt{\frac{1^2 - 4 \cdot 0 \cdot (-3)}{4 \cdot 0^2 + 4 \cdot (-3)^2 - 1^2}} = \sqrt{\frac{1}{13}}.$

2. Направление оси симметрии:

Угол между осью симметрии параболы и положительным направлением оси $x$ определяется следующей формулой:

$\tan(2\theta) = \frac{2B}{A-C}.$

В нашем случае $A = 0$ и $C = -3$, так что:

$\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot 1}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}.$

Отсюда можно найти угол $\theta$:

$\theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2}{3}\right).$

3. Вершина параболы:

Чтобы найти вершину параболы, нужно выразить $x$ и $y$ из уравнения и решить систему уравнений:

$xy = x - 3y + 7$ $y = \frac{x}{x-3} + \frac{7}{x}.$

Подставляя $y$ в уравнение $xy = x - 3y + 7$, получим:

$x \left(\frac{x}{x-3} + \frac{7}{x}\right) = x - 3\left(\frac{x}{x-3} + \frac{7}{x}\right) + 7.$

Решив это уравнение, вы найдете $x$ и затем сможете найти $y$.

Теперь у вас есть основные характеристики этой параболы: фокусное расстояние ($d$), направление оси симметрии ($\theta$) и координаты вершины параболы.