Question

2)Дано уравнение (1-cos2x-sinx)/(cosx-1)=0. а)Решите уравнение. б)Укажите его корни, принадлежащие интервалу (5π/2;5π).

Answer 1

A)
$\frac{1-cos(2x)-sinx}{cosx-1} =0 \\ \\ \left \{ {{1-cos(2x)-sinx=0} \atop {cosx-1 \neq 0}} \right.$
Числитель
1 - cos(2x) - sin x=0
1 - (1 - 2sin²x) - sin x = 0
2 sin²x - sin x = 0    ⇔     sin x (2 sin x - 1) = 0
1) 2 sin x - 1 = 0    ⇔    sin x = 1/2    ⇒   
    x₁ = π/6 + 2πk;    x₂ = 5π/6 + 2πm
2) sin x = 0   ⇒    x₃ = πn
Знаменатель
cos x - 1 ≠ 0    ⇔   cos x ≠ 1
x ≠ 2πs,  s∈Z    ⇒   для x₃ = πn нужно отбросить корни при чётном n
Корни уравнения
x₁ = π/6 + 2πk;  x₂ = 5π/6 + 2πm;  x₃ = π + 2πn;   k,m,n∈Z

b)  Отобрать корни из интервала  
(5π/2; 5π) - границы в интервал не входят
(5π/2; 5π)   ⇔   (2π + π/2;  4π + π)
x₁ = π/6 + 2πk; попадает в интервал при k=2; 
     x₁₂ = π/6 + 4π;
x₂ = 5π/6 + 2πm;  попадает в интервал дважды - при m=1; m=2
     x₂₁ = 5π/6 + 2π;     x₂₂ = 5π/6 + 4π;
x₃ = π + 2πn;     попадает в интервал при n=1
     x₃₁ = π + 2π;
Ответ: в интервале  4 корня:
             π/6+4π;    5π/6 + 2π;     5π/6 + 4π;    π + 2π;

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

(1 - cos(2x) - sin(x)) / (cos(x) - 1) = 0

а) Для начала упростим уравнение:

1 - cos(2x) - sin(x) = 0 cos(2x) + sin(x) = 1

Теперь давайте решим это уравнение.

b) Чтобы найти корни, принадлежащие интервалу (5π/2; 5π), нужно определить значения x, которые удовлетворяют уравнению в этом интервале. Для этого мы можем начать, подставив разные значения x в уравнение, и увидеть, когда оно выполняется.

На интервале (5π/2; 5π) значения x находятся в диапазоне от 5π/2 до 5π, что соответствует 2,5 оборотам вокруг окружности.

Начнем с минимального значения в этом интервале, то есть x = 5π/2:

cos(2*(5π/2)) + sin(5π/2) = 1 + (-1) = 0

Уравнение выполняется при x = 5π/2.

Теперь попробуем x = 5π:

cos(2*(5π)) + sin(5π) = 1 + 0 = 1

Уравнение выполняется при x = 5π.

Таким образом, уравнение (1 - cos(2x) - sin(x)) / (cos(x) - 1) = 0 имеет два корня на интервале (5π/2; 5π), и они равны x = 5π/2 и x = 5π.