Question

Поясніть,будь ласка,детально,як розв'язувати (x-3)(x+5)(4-x)>0

Answer 1

---------------------------------------------------------------------

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність $(x-3)(x+5)(4-x) > 0$, спершу треба знайти критичні точки, де ця функція змінює знак, а потім визначити інтервали, на яких нерівність виконується.

Спочатку знайдемо критичні точки, де вираз $(x-3)(x+5)(4-x)$ дорівнює нулю. Ці точки будуть точками розділу, де функція змінює знак:

1. $x-3 = 0$ або $x = 3$.
2. $x+5 = 0$ або $x = -5$.
3. $4-x = 0$ або $x = 4$.

Таким чином, у нас є три критичні точки: $x = -5$, $x = 3$ і $x = 4$. Тепер подивимося, як функція змінює знак на інтервалах між цими точками.

Розглянемо чотири інтервали:

1. $x < -5$
2. $-5 < x < 3$
3. $3 < x < 4$
4. $x > 4$

Для кожного з цих інтервалів визначимо, як функція $(x-3)(x+5)(4-x)$ змінює знак, використовуючи критичні точки:

1. Інтервал $x < -5$: При $x < -5$ всі три частини $(x-3)$, $(x+5)$ і $(4-x)$ в цій нерівності від'ємні. Тобто, вираз буде додатнім, оскільки добуток трьох від'ємних чисел дає додатнє число.

2. Інтервал $-5 < x < 3$: У цьому інтервалі $(x-3) < 0$, $(x+5) > 0$, і $(4-x) > 0$. Тобто, перша частина від'ємна, а решта - позитивні. Таким чином, вираз буде від'ємним, оскільки від'ємне число помножене на позитивне число дає від'ємний результат.

3. Інтервал $3 < x < 4$: У цьому інтервалі всі три частини $(x-3)$, $(x+5)$ і $(4-x)$ - позитивні. Тобто, весь вираз буде позитивним, оскільки добуток трьох позитивних чисел дає позитивне число.

4. Інтервал $x > 4$: При $x > 4$ всі три частини $(x-3)$, $(x+5)$ і $(4-x)$ в цій нерівності від'ємні. Тобто, вираз буде додатнім, оскільки добуток трьох від'ємних чисел дає додатнє число.

Отже, ми знайшли, як функція $(x-3)(x+5)(4-x)$ змінює знак на кожному інтервалі:

1. Додатня на інтервалі $x < -5$.
2. Від'ємна на інтервалі $-5 < x < 3$.
3. Додатня на інтервалі $3 < x < 4$.
4. Додатня на інтервалі $x > 4$.

Тепер, якщо ми хочемо знайти значення $x$, для яких нерівність $(x-3)(x+5)(4-x) > 0$ виконується, ми можемо скомбінувати ці інтервали:

• Нерівність виконується на інтервалах $x < -5$ і $3 < x < 4$, оскільки на цих інтервалах вираз є додатнім.
• Нерівність не виконується на інтервалах $-5 < x < 3$ і $x > 4$, оскільки на цих інтервалах вираз є від'ємним.

Отже, множина розв'язків нерівності $(x-3)(x+5)(4-x) > 0$ - це об'єднання інтервалів $x < -5$ і $3 < x < 4$:

$x < -5 \text{ або } 3 < x < 4$