Question

Геометрия. Помогите, пожалуйста. В р|б треугольнике ABC основание BC равно 18см, медианы BN и CM пересекаются в точке O и угол OBC=30°. Найдите эти медианы.

Answer 1

Из А проведём высоту (она же медиана, т. к. треуг равнобедр) АК к стороне ВС и рассмотрим треуг ВОК
уг ОВК = 30 градусов, катет, леж напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, ОК=х см
ВО=2х см
По теореме Пифагора
х^2 + 9^2 = (2х) ^2
х=3√3
ВО = 6√3, значит медиана = 9√3 (по свойству медиан треуг: они пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины)
т. к. в равнобедр треугольнике медианы, провед к боковым сторонам (этолегко, не буду писать доказательство) , то обе медианы, которые требуется найти равны 9√3

да, через теорему косинусов будет чутка покороче, но в принципе ничего не поменяется от этого

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

У нас есть треугольник ABC, в котором известно, что основание BC равно 18 см, и угол OBC (угол между медианой BN и стороной BC) равен 30°. Также дано, что медианы BN и CM пересекаются в точке O.

Давайте обозначим точку пересечения медиан BN и CM как точку O. Теперь, так как BN и CM - медианы треугольника, они делят противоположные стороны пополам. Это означает, что точка O является центром масс треугольника ABC, и медианы делятся в ней в отношении 2:1. То есть, BO:ON = CO:OM = 2:1.

Теперь, поскольку угол OBC равен 30°, у нас есть прямоугольный треугольник BCO, в котором известен угол 30° и гипотенуза BC (основание треугольника). Мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями, чтобы найти длины BO и CO.

Давайте обозначим длину BO как x. Тогда длина CO также будет x, так как BO:CO = 2:1.

В прямоугольном треугольнике BCO:

$\tan(30^\circ) = \frac{BC}{BO}$.

Подставляя известные значения:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18}{x}$.

Отсюда получаем:

$x = 18 \cdot \sqrt{3}$.

Таким образом, длины медиан BN и CM равны 2/3 от x:

$BN = \frac{2}{3} \cdot 18 \cdot \sqrt{3} = 12 \cdot \sqrt{3}$ см, $CM = \frac{2}{3} \cdot 18 \cdot \sqrt{3} = 12 \cdot \sqrt{3}$ см.

Итак, длины медиан BN и CM равны 12√3 см.