Question

Найдите объем треугольной пирамиды a(0,1,0)в(2,1,-1)c(1,-2,2)d(1,2,-3)

Answer 1

Найдем объем треугольной пирамиды, вершинами которой являются точки :
M1 = ( 2, 4, 6 )
M2 = ( 2, 4, 7 )
M3 = ( 1 , -2, 0 )
M4 = ( 5, 1, 4 )
Построим векторы M4M1, M4M2 и M4M3 .
M4M1 = ( 2 - 5, 4 - 1, 6 - 4 ) = ( -3, 3, 2 )
M4M2 = ( 2 - 5, 4 - 1, 7 - 4 ) = ( -3, 3, 3 )
M4M3 = ( 1 - 5 , -2 - 1, 0 - 4 ) = ( -4 , -3 , -4 )
Рассмотрим произведение векторов M4M1, M4M2 и M4M3, составленное следующим образом : ( M4M1 x M4M2 ) * M4M3. Два первые вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется смешанным произведение трех векторов. Смешанное произведение - это число, по модулю равное объему параллелепипида построенного на векторах M4M1, M4M2, M4M3. Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен 1/6 объема параллелепипеда. Найдем смешанное произведение векторов ( M4M1 x M4M2 ) * M4M3.
M4M1 x M4M2 ) * M4M3 = (далее определитель)
-3 3 2
-333 =-21
-4-3-4

V = 1/6* | ( M4M1 x M4M2 ) * M4M3 | = 1/6 * 21 = 3.5
Свои обозначения точек поставьте сами

Answer 2

Чтобы найти объем треугольной пирамиды, заданной координатами вершин, можно воспользоваться формулой для объема пирамиды по четырем точкам:

Объем = (1/6) * |det(A)|,

где A - матрица, составленная из разностей координат вершин:

A = | x2-x1 y2-y1 z2-z1 | | x3-x1 y3-y1 z3-z1 | | x4-x1 y4-y1 z4-z1 |

В данном случае координаты вершин заданы следующим образом:

a (0, 1, 0) b (2, 1, -1) c (1, -2, 2) d (1, 2, -3)

Подставляя координаты вершин в матрицу A:

A = | 2-0 1-1 -1-0 | | 1-0 -2-1 2-0 | | 1-0 2-1 -3-0 |

Вычислим определитель матрицы A:

det(A) = (2 * (-2 * -3 - 2 * 2)) - (1 * (-1 * -3 - 2 * 1)) - (-1 * (1 * 2 - 1 * -2)) = (2 * (-12 - 4)) - (1 * (-3 - 2)) - (-1 * (2 + 2)) = (-16) - (-5) - (-4) = -16 + 5 - 4 = -15.

Теперь можно вычислить объем пирамиды:

Объем = (1/6) * |-15| = 15/6 = 2.5.

Таким образом, объем треугольной пирамиды, заданной вершинами a, b, c и d, равен 2.5 единицам кубической длины.