Question

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 10 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого есть апофема=10, катет-высота пирамиды, второй катет это треть медианы (высоты) равностороннего треугольника в основе. Находим эту треть медианы (отрезок от центра до основы апофемы). Равно 10×cos60°=10×0,5=5. Или можно найти, зная, что напротив угла в 30° расположен катет в 2 раза меньше гипотенузы.Тогда медиана, она же высота, треугольника в основе равна 15.
По формуле а=h×2√3/3=15×2×√3/3=10√3.
Находим площадь треугольника в основе.
S=а²√3/4=(10√3)²√3/4=75√3
V=1/3×S×h
h находим из прямоугольного треугольника, о котором говорили выше.
h=10sin60°=10×√3/2=5√3
V=1/3×75√3×5√3=75×5=375

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды сначала нужно найти длину боковой стороны треугольной пирамиды. Поскольку у нас есть апофема (расстояние от вершины пирамиды до середины основания), то можно воспользоваться свойством апофемы в прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, половиной основания и боковой стороной пирамиды:

$\text{апофема}^2 = \text{полуоснование}^2 + \text{боковая сторона}^2$

где полуоснование - это половина длины основания.

Так как треугольник прямоугольный и один из углов равен 60 градусам, то:

$\text{полуоснование} = \text{апофема} \cdot \tan(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Теперь можем найти длину боковой стороны:

$\text{боковая сторона}^2 = \text{апофема}^2 - \text{полуоснование}^2 = 10^2 - \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2 = 100 - \frac{100}{3} = \frac{200}{3}$

$\text{боковая сторона} = \sqrt{\frac{200}{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3}$

Теперь можно найти объем пирамиды. Объем пирамиды можно выразить как одну треть объема параллелепипеда, в который пирамида вписана. Для этого используем следующую формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot \text{площадь основания} \cdot \text{высота}$

Площадь треугольника равна:

$\text{площадь основания} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{апофема} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$

Высота пирамиды равна апофеме:

$\text{высота} = 10$

Подставляя значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot 10 = \frac{500}{3} \approx 166.67 \text{ см}^3$

Итак, объем треугольной пирамиды составляет приблизительно 166.67 кубических сантиметров.