Question

Знайдіть останню цифру числа 2017 в 2018 степені + 2018 в 2017 степені, допоможіть будь ласка

Answer 1

Больше будет 2018^2017

Answer 2

Щоб знайти останню цифру числа, яке отримується після обчислення виразу $2017^{2018} + 2018^{2017}$, можна використовувати факт, що останні цифри чисел $a^b$ залежать від останніх цифр числа $a$ та показника степеня $b$.

Ми можемо розглянути останні цифри чисел $2017$ та $2018$ у різних степенях:

Для $2017^1$ остання цифра: $7$ Для $2017^2$ остання цифра: $9$ (останні цифри числа $49$) Для $2017^3$ остання цифра: $3$ (останні цифри числа $343$) Для $2017^4$ остання цифра: $1$ (останні цифри числа $14641$)

Можна помітити, що останні цифри чисел $2017^1$, $2017^2$, $2017^3$ та $2017^4$ утворюють послідовність $7, 9, 3, 1$, яка повторюється з періодом $4$.

Аналогічно, для $2018^1$ остання цифра: $8$ Для $2018^2$ остання цифра: $4$ (останні цифри числа $32$) Для $2018^3$ остання цифра: $2$ (останні цифри числа $512$) Для $2018^4$ остання цифра: $6$ (останні цифри числа $4096$)

Останні цифри чисел $2018^1$, $2018^2$, $2018^3$ та $2018^4$ утворюють послідовність $8, 4, 2, 6$, яка також повторюється з періодом $4$.

Тепер, коли ми маємо ці дві повторюючіся послідовності, можна обчислити значення виразу:

$2017^{2018} + 2018^{2017} \equiv 7^{2018} + 8^{2017} \pmod{10}$

А тепер ми можемо скористатися періодичністю останніх цифр чисел $7$ та $8$ у степенях:

$7^{2018} \equiv 7^2 \equiv 9 \pmod{10}$ $8^{2017} \equiv 8^1 \equiv 8 \pmod{10}$

Отже, сума $9 + 8$ дорівнює $17$, і остання цифра цього числа є останньою цифрою відповіді.

Таким чином, остання цифра числа $2017^{2018} + 2018^{2017}$ дорівнює $7$.