Question

основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 10 и 6 см а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол 45° найдите площадь диагонального сечения пирамиды

Answer 1

Надо найти площадь равнобедренной трапеции с основаниями 4*корень(2) и 6*корень(2) и углом между боковой стороной и большим основанием 45 градусов.

Высота такой трапеции равна корень(2);

(Если вы просто нарисуете по клеточкам, то поймете, почему.

На самом деле, она равна (a - b)*tg(Ф)/2; где Ф = 45 градусов, а - большое основание, b - малое. Если вы проведете высоту в трапеции из вершины малого основания на большое, то сразу увидите, почему это так.)

Поэтому площадь трапеции равна (6*корень(2)+4*корень(2))*корень(2)/2 = 10;

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте представим усеченную четырехугольную пирамиду и нарисуем плоскость, которая образует угол 45° с плоскостью большего основания. Затем мы найдем площадь диагонального сечения пирамиды в этой плоскости.

По условию, основания пирамиды являются правильными четырехугольниками, и их стороны равны 10 см и 6 см.

Шаг 1: Найдем диагональ меньшего основания (короткой стороны пирамиды).

По правилу косинусов для треугольника: cos(45°) = a / h, где "a" - сторона меньшего основания, "h" - расстояние от вершины до центра меньшего основания.

Так как правильный четырехугольник - это равнобедренный треугольник, то "h" будет равно половине высоты одного из равнобедренных треугольников, образующих меньшее основание. Равнобедренный треугольник образуется отсечением верхней части меньшего основания.

Для краткости, обозначим основание длиной 6 см как "AB" и основание длиной 10 см как "CD".

Тогда "h" = AC / 2, где AC - высота равнобедренного треугольника, а это равно: AC = √(AB^2 - BC^2) = √(6^2 - (6/2)^2) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см.

Теперь, используя косинус 45° и зная "h", найдем сторону "a": cos(45°) = a / h, a = cos(45°) * h, a = √2 * 3√3, a = 3√6 см.

Шаг 2: Найдем диагональ основания (длинную сторону пирамиды).

Диагональ основания равна длине диагонали четырехугольника, а это равно: BD = √(AB^2 + AD^2) = √(6^2 + 10^2) = √(36 + 100) = √136 см.

Шаг 3: Найдем высоту пирамиды (h).

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой BD и известными катетами a и h. По теореме Пифагора:

BD^2 = a^2 + h^2, 136 = (3√6)^2 + h^2, 136 = 18 + h^2, h^2 = 136 - 18, h^2 = 118, h = √118.

Шаг 4: Найдем площадь диагонального сечения пирамиды.

Площадь диагонального сечения пирамиды в плоскости, образующей угол 45° с плоскостью большего основания, равна половине площади квадрата с диагональю BD.

Площадь квадрата = (длина диагонали)^2 = BD^2 = 136.

Площадь диагонального сечения пирамиды = 1/2 * 136 = 68 квадратных сантиметров.

Итак, площадь диагонального сечения пирамиды равна 68 квадратных сантиметров.