Question

В клетках таблицы 7×6 расставлены числа 1 и 3 (в каждой клетке по одному числу) так, что в каждой строке и каждом столбце сумма чисел делится на 7. Найдите наибольшее возможное значение суммы всех чисел в такой таблице?

Answer 1

Чтобы сумма всех чисел была наибольшей, должно быть как можно больше 3.По столбцам все понятно - чтобы сумма 7 чисел делилась на 7, они должны быть все одинаковые.Со строками сложнее.Нужно подобрать 11 чисел 1 и 3, чтобы их сумма делилась на 7 и при этом была наибольшей.Если в строке будут все 3, то получится 3*11=33.Значит, сумма должна быть 21 или 28, чтобы делилась на 7.Подбирает:21=3*4+1*9=3*5+1*6=3*6+1*3Количество слагаемых 13, 11, 9.28=3*7+7=3*8+4=3*9+1Количество слагаемых 14, 12, 10.Как видим, подходит только вариант 21=3*5+1*6.Таблица будет из 7 таких строк:33333111111Сумма всех чисел в таблице равна 7*21=147.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим основные свойства и ограничения таблицы:

1. Так как сумма чисел в каждой строке и столбце должна делиться на 7, то сумма всех чисел в таблице также должна делиться на 7.

2. В таблице 7 строк и 6 столбцов. Поскольку сумма всех чисел должна делиться на 7, то среднее арифметическое всех чисел должно быть кратно 7. Так как всего 42 клетки (7 * 6), то сумма всех чисел должна быть кратна 7 и нацело делиться на 42.

3. Наибольшее возможное значение для чисел, которые могут быть расставлены в клетках таблицы, это 3, так как числа должны быть 1 и 3, и число 3 дает максимальное возможное значение.

Теперь давайте построим таблицу, учитывая ограничение на сумму всех чисел:

Copy code
3   3   3   3   3   3
3   3   3   3   3   3
3   3   3   3   3   3
3   3   3   3   3   3
3   3   3   3   3   3
3   3   3   3   3   3
1   1   1   1   1   1

Теперь рассчитаем сумму всех чисел в таблице:

Сумма = (3 * 30) + (1 * 6) = 90 + 6 = 96

Таким образом, наибольшее возможное значение суммы всех чисел в такой таблице равно 96.