Question

Мальчик хочет на стене дома выложить мозаику прямоугольной формы из разноцветных квадратных плиток. Если укладывать в ряд по 12 плиток, то для квадратной мозаики плиток не хватает. При укладывании по 9 тоже остаётся неполный ряд, в котором на 8 плиток больше, чем в неполном ряду при укладывании по 10 плиток. Сколько всего плиток у мальчика если их больше 50 ?

Answer 1

12+9+8+10=39 50+39= 89

Answer 2

Давайте решим эту задачу. Пусть общее количество плиток, которое у мальчика есть, будет обозначено как X.

Условие гласит, что когда он укладывает плитки в ряд по 12, остается неполный ряд. Это означает, что количество плиток не делится на 12 без остатка. То есть, X не делится на 12 без остатка.

Также, когда он укладывает плитки в ряд по 9, остается неполный ряд, причем на 8 плиток больше, чем в неполном ряду при укладывании по 10 плиток. Давайте разберем это:

При укладывании в ряд по 9 плиток, остаток равен 8 (8 плиток не хватает до полного ряда). При укладывании в ряд по 10 плиток, остаток также равен 8 (8 плиток не хватает до полного ряда).

Из этого следует, что количество плиток (X) делится на 9 и на 10 с остатком 8. В математической форме это можно записать как:

X ≡ 8 (mod 9) X ≡ 8 (mod 10)

Теперь найдем значение X, которое удовлетворяет обоим сравнениям.

Используя китайскую теорему об остатках, мы можем найти X:

X = 10a + 8, где а - некоторое целое число.

Теперь подставим это выражение в первое сравнение:

10a + 8 ≡ 8 (mod 9)

Упростим выражение, вычитая 8 с обеих сторон:

10a ≡ 0 (mod 9)

Теперь находим значение а:

а = 9k, где k - некоторое целое число.

Теперь, подставим а в выражение для X:

X = 10a + 8 = 10(9k) + 8 = 90k + 8

Таким образом, общее количество плиток (X) у мальчика может быть представлено в виде 90k + 8, где k - целое число. Условие, что количество плиток больше 50, означает:

90k + 8 > 50

Теперь найдем минимальное значение k, удовлетворяющее этому неравенству:

90k > 50 - 8 90k > 42 k > 42 / 90 k > 7 / 15

Так как k - целое число, наименьшее значение, удовлетворяющее неравенству, равно 1. Таким образом, k = 1.

Теперь найдем X, подставив k = 1:

X = 90k + 8 = 90(1) + 8 = 98

Таким образом, мальчик имеет 98 плиток в наличии.