Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна а корень из 3, радиус окружности, описанной около ее основания, 2а. Найдите: a) площадь боковой поверхности пирамиды b) плоский угол при вершине пирамиды.

Answer 1

АВСЕ - пирамида с вершиной Е.
В основании лежит правильный тр-ник, для которого радиус описанной окружности в два раза больше радиуса описанной окружности. r=R/2.
ОК=ОВ/2=2а/2=а.
ЕК - апофема на сторону АС.
В тр-ке ЕКО ЕК²=ЕО²+ОК²=3а²+а²=4а²,
ЕК=2а - апофема.
б) ЕК/ОК=2а/а=2. В прямоугольном треугольнике ЕОК гипотенуза ЕК вдвое больше катета ОК, значит ∠КЕО=30°, следовательно ∠ЕКО=60° - угол между боковой гранью и основанием.
в) Площадь боковой поверхности: Sб=Р·l/2, где Р - периметр основания, l - апофема.
R=AB/√3 ⇒ AB=R√3=2a√3.
P=3AB=6a√3.
Sб=6a√3·2a/2=6a²√3 (ед²).

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся геометрическими свойствами правильной треугольной пирамиды.

Пусть сторона основания треугольника равна b, а высота пирамиды равна h.

Из условия задачи, дано, что высота пирамиды (h) равна a√3, а радиус окружности, описанной около основания (R), равен 2a.

Так как пирамида правильная, треугольник на её основании — равносторонний треугольник. Значит, сторона основания равна:

b = 2R

Теперь, чтобы найти значение стороны основания b, подставим известные значения:

b = 2 * 2a = 4a

a) Площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на её высоту. Так как основание — равносторонний треугольник со стороной b, периметр основания равен:

Периметр основания = 3b = 3 * 4a = 12a

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности = (1/2) * периметр основания * высота пирамиды = (1/2) * 12a * a√3 = 6a^2√3

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 6a^2√3.

b) Плоский угол при вершине пирамиды:

Плоский угол при вершине пирамиды образован тремя ребрами, и они равны сторонам равностороннего треугольника на основании пирамиды. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

Ответ: Плоский угол при вершине пирамиды равен 60°.