Question

Решите неравенство: log(внизу2)(x^2 -2x)< 3 СРОЧНО.

Answer 1

$\log_2 (x^2-3x)\ \textless \ 3 \\ \log_2 (x^2-3x)\ \textless \ \log_2 8\\ x^2 - 3x \ \textless \ 8 \\ x^2 - 3x - 8 \ \textless \ 0\\ D = 9 + 32 =( \sqrt{41})^2 \\ x_1 = \frac{3+\sqrt{41}}{2} \\ x_2 = \frac{3-\sqrt{41}}{2} \\ x \in ( \frac{3-\sqrt{41}}{2}; \frac{3+\sqrt{41}}{2}) \\ x^2 - 3x \ \textgreater \ 0 \\ x \in (-\infty;0) \cup (3; + \infty) \\ OTVET : x \in ( \frac{3-\sqrt{41}}{2}; 0) \cup(3;\frac{3+\sqrt{41}}{2})$

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте выполним следующие шаги:

1. Перепишем неравенство в эквивалентной форме, используя свойства логарифмов: log(внизу2)(x^2 - 2x) < 3

2. Переведем логарифм в экспоненциальную форму: 2^(log(внизу2)(x^2 - 2x)) < 2^3

3. Упростим выражение: x^2 - 2x < 8

4. Приведем все члены уравнения в одном многочлене к левой стороне: x^2 - 2x - 8 < 0

5. Теперь решим квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения x^2 - 2x - 8 = 0:

   Дискриминант (D) = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

   Корни уравнения: x = (-b ± √D) / 2a x = (2 ± √36) / 2 x = (2 ± 6) / 2

   Таким образом, получаем два корня: x1 = (2 + 6) / 2 = 4 и x2 = (2 - 6) / 2 = -2.

6. Теперь определим знак выражения x^2 - 2x - 8 на интервалах между корнями и за пределами корней.

   Для x < -2: Подставим x = -3 (значение между корнями) в x^2 - 2x - 8: (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7, что положительно.

   Для -2 < x < 4: Подставим x = 0 (значение между корнями) в x^2 - 2x - 8: (0)^2 - 2(0) - 8 = -8, что отрицательно.

   Для x > 4: Подставим x = 5 (значение за пределами корней) в x^2 - 2x - 8: (5)^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7, что положительно.

Таким образом, неравенство x^2 - 2x - 8 < 0 выполняется на интервале -2 < x < 4.

Ответ: -2 < x < 4.