Question

1) Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4 корень из 3, апофема 4. Найдите объём пирамиды 2) В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 высота в 2 раза длиннее стороны основания. Найдите объём призмы, если расстояние между серединами рёбер A1B1 и BC равно 3 корень из 2 3) ABCDA1B1C1D1 - прямая призма, основанием которой является ромб, AB = 6, угол A = 60 градусов. Расстояние между прямыми AD и B1C1 равно корень из 30. Найдите объём призмы

Answer 1

Решения даны на фото.

Answer 2

Для решения этих задач, нам понадобятся формулы для вычисления объёма пирамиды и призмы.

1. Объём правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) * S_base * h, где S_base - площадь основания, h - высота пирамиды.

   Для правильной треугольной пирамиды с основанием равным равностороннему треугольнику, площадь основания можно найти по формуле: S_base = (sqrt(3) / 4) * a^2, где a - длина стороны основания.

   В данной задаче, сторона основания равна 4 корень из 3: a = 4 * sqrt(3).

   Также известна апофема (расстояние от центра основания до вершины) равная 4.

   Для правильной треугольной пирамиды, апофема связана с высотой и стороной основания следующим образом: a^2 = h^2 + (S_base / (sqrt(3))),

   Подставим известные значения и найдем h: (4 * sqrt(3))^2 = h^2 + ((sqrt(3) / 4) * (4 * sqrt(3))^2), 48 = h^2 + (3 * 12), h^2 = 48 - 36, h^2 = 12, h = sqrt(12) = 2 * sqrt(3).

   Теперь найдем объём пирамиды: V = (1/3) * S_base * h, V = (1/3) * ((sqrt(3) / 4) * (4 * sqrt(3))^2) * (2 * sqrt(3)), V = (1/3) * (3 * 3^2) * (2 * sqrt(3)), V = 6 * sqrt(3).

   Ответ: объём пирамиды равен 6 * sqrt(3).

2. Объём правильной четырехугольной призмы можно найти по формуле: V = S_base * h, где S_base - площадь основания, h - высота призмы.

   Для правильной четырехугольной призмы с основанием, состоящим из квадрата и четырех равносторонних треугольников вокруг него, площадь основания можно найти по формуле: S_base = a^2 + 4 * (sqrt(3)/4) * a^2, где a - длина стороны основания.

   В данной задаче, пусть a - длина стороны основания (сторона квадрата) и 2a - высота призмы.

   Также известно расстояние между серединами рёбер A1B1 и BC, равное 3 * sqrt(2).

   Для правильной четырехугольной призмы с высотой, в 2 раза длиннее стороны основания, расстояние между серединами рёбер связано со стороной основания следующим образом: a^2 + (a^2 / 4) = (3 * sqrt(2))^2, a^2 + a^2/4 = 9 * 2, (5/4) * a^2 = 18, a^2 = 18 * (4/5), a^2 = 14.4, a = sqrt(14.4) = 3.8.

   Теперь найдем высоту призмы: h = 2 * a = 2 * 3.8 = 7.6.

   Теперь найдем объём призмы: V = S_base * h, V = (3.8)^2 + 4 * (sqrt(3)/4) * (3.8)^2 * 7.6, V = 14.4 + (sqrt(3) * 14.4 * 7.6), V = 14.4 + (109.824), V = 124.224.

   Ответ: объём призмы равен 124.224.

3. Объём прямой призмы можно найти по формуле: V = S_base * h, где S_base - площадь основания, h - высота призмы.

   Для прямой призмы с ромбическим основанием, площадь основания можно найти по формуле: S_base = a * b, где a и b - длины диагоналей ромба.

   В данной задаче, длина одной диагонали ромба (AB) равна 6, а угол A (угол между диагоналями) равен 60 градусов.

   Так как ромб является четырехугольником с равными сторонами, то в ромбе диагонали равны и перпендикулярны друг другу.

   Также известно расстояние между прямыми AD и B1C1, равное sqrt(30).

   Теперь найдем стороны ромба: По свойствам ромба, стороны равны друг другу, так как угол между диагоналями равен 60 градусов, то угол между сторонами равен 120 градусов, а