Question

Обчисліть площу фігури обмеженої лініями y=2-x-x^2, y=2+x

Answer 1

2-x-x²=2+x

2-x-x²-2-x=0

-x²-2x=0
-(x²+2x)=0
x²+2x=0
x(x+2)=0
x=0 x=-2

(-2;0)∫(-x²-2x)dx= -x³/3 - x² | (-2;0)= 0-( - (-8)/3 -4) = 0-(8/3-4) = -8/3+4=
=3 3/3 -2 2/3 = 1 1/3

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої цими двома лініями, спочатку знайдемо точки їх перетину. Після цього знайдемо інтеграл площі між цими двома кривими за допомогою відповідного інтегралу.

1. Знайдемо точки перетину: Поставимо рівняння двох кривих у системі рівнянь і знайдемо значення x:

y = 2 - x - x^2 ...........(1) y = 2 + x ...............(2)

Зрівняємо вирази для y:

2 - x - x^2 = 2 + x

Зведемо до квадратного рівняння:

x^2 + x - 2 = 0

Факторизуємо:

(x + 2)(x - 1) = 0

Таким чином, маємо дві точки перетину: x = -2 та x = 1.

2. Знайдемо відповідні значення y для цих точок:

Для x = -2:

y = 2 + (-2) = 0

Для x = 1:

y = 2 + 1 = 3

Тепер, площу між цими двома кривими можна знайти шляхом обчислення відповідного інтегралу:

Площа = ∫(y2 - y1) dx, де y2 - функція правої кривої, y1 - функція лівої кривої.

Площа = ∫(2 + x - (2 - x - x^2)) dx, від x = -2 до x = 1

Площа = ∫(2 + x - 2 + x + x^2) dx, від x = -2 до x = 1

Площа = ∫(x^2 + 2x) dx, від x = -2 до x = 1

Знайдемо невизначений інтеграл:

∫(x^2 + 2x) dx = (1/3)x^3 + x^2 + C

Площа = [(1/3)(1)^3 + (1)^2] - [(1/3)(-2)^3 + (-2)^2]

Площа = (1/3 + 1) - (-8/3 + 4)

Площа = 4/3 + 8/3

Площа = 12/3

Площа = 4

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 2 - x - x^2 та y = 2 + x, дорівнює 4 квадратним одиницям.