Question

Доказать что уравнение не имеет целочисленных решений 9x^2+6xy+3y^2=4321

Answer 1

Если x и y целые числа, то 

9x²+6xy+3y²=3(3x²+2xy+y²)

делится на три. В то же время правая часть не делится на три, поскольку сумма цифр 4+3+2+1 этого числа не делится на три. Поэтому наше уравнение не может иметь целочисленных решений.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что уравнение 9x^2 + 6xy + 3y^2 = 4321 не имеет целочисленных решений, можно воспользоваться методом анализа дискриминанта. Это связано с тем, что уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно переменных x и y.

Квадратное уравнение обычно имеет вид: ax^2 + bx + c = 0.

Для нашего уравнения 9x^2 + 6xy + 3y^2 = 4321 можно представить как квадратное уравнение относительно x, считая y константой:

9x^2 + 6xy + 3y^2 - 4321 = 0.

Теперь, чтобы найти дискриминант, нужно воспользоваться формулой:

D = b^2 - 4ac,

где a = 9, b = 6y и c = 3y^2 - 4321.

Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (6y)^2 - 4 * 9 * (3y^2 - 4321).

D = 36y^2 - 4 * 9 * (3y^2 - 4321).

D = 36y^2 - 4 * (27y^2 - 4321).

D = 36y^2 - 108y^2 + 4 * 4321.

D = 36y^2 - 108y^2 + 17284.

D = -72y^2 + 17284.

Теперь, чтобы уравнение имело целочисленные решения, дискриминант D должен быть полным квадратом некоторого целого числа k^2. То есть должно выполняться условие: D = k^2.

Однако, если посмотреть на полученное значение D = -72y^2 + 17284, можно заметить, что оно содержит отрицательный множитель -72. Так как мы ищем целочисленные решения, а -72 не является полным квадратом никакого целого числа, то уравнение 9x^2 + 6xy + 3y^2 = 4321 не имеет целочисленных решений.

Таким образом, уравнение не имеет ни одной пары целочисленных значений x и y, которые удовлетворяли бы ему одновременно.