Question

Сколько существует способов разрезать выпуклый 10угольник на треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри многоугольника

Answer 1

7 от одной точки
70 от всех точек

Answer 2

Чтобы определить, сколько существует способов разрезать выпуклый 10-угольник на треугольники диагоналями без их пересечения внутри многоугольника, мы можем использовать рекуррентную формулу.

Обозначим количество способов разрезать выпуклый n-угольник на треугольники как T(n). Для n = 3, T(n) = 1, так как треугольник уже является разрезанным на себя.

Для n > 3, рассмотрим первую диагональ выпуклого n-угольника. Она соединяет вершину многоугольника с номером i и вершину с номером j (где 1 < i < j < n). Когда мы проводим эту диагональ, она разбивает многоугольник на два подмногоугольника: один с (i-1) вершиной и другой с (n-i+1) вершиной.

Первый подмногоугольник можно разрезать на T(i-1) треугольников, а второй подмногоугольник можно разрезать на T(n-i+1) треугольников.

Таким образом, общее количество способов разрезать выпуклый n-угольник на треугольники можно определить по формуле:

T(n) = Σ[ T(i-1) * T(n-i+1) ] для i от 2 до (n-1)

Мы начинаем с i = 2, потому что при i = 1 мы получим повторение одного и того же результата.

Применяя эту рекуррентную формулу, можно вычислить количество способов разрезать выпуклый 10-угольник на треугольники:

T(10) = T(1) * T(9) + T(2) * T(8) + T(3) * T(7) + T(4) * T(6) + T(5) * T(5) + T(6) * T(4) + T(7) * T(3) + T(8) * T(2) + T(9) * T(1)

Вычисление всех значений T(i) для i от 1 до 9 может быть выполнено последовательно, используя рекуррентную формулу и базовое значение T(3) = 1.

Однако, здесь возникает сложность в точном вычислении T(n), так как число различных разрезаний может быть очень большим. В таких случаях часто используются динамическое программирование или мемоизация для оптимизации вычислений и избежания повторных вычислений.