Question

(-1+і)^10=??? Допоможіть пошвидшеее

Answer 1

(i - 1)¹⁰ = ((i-1)²)⁵ = (i² - 2i + 1)⁵ = (-1-2i+1)⁵ = (-2i)⁵ = -32i⁵ = -32*(-1)*(-1)*i =

= -32i

Answer 2

$\displaystyle(-1+i)^{10}=\left(\sqrt{(-1)^2+1^2}\cdot\left(-\frac1{\sqrt{(-1)^2+1^2}}+\frac{i}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}\right)\right)^{10}=\\=(\sqrt2)^{10}\left(\cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4\right)^{10}=32\left(\cos\frac{30\pi}4+i\sin\frac{30\pi}4\right)\\\cos\frac{30\pi}4=\cos\frac{15\pi}2=\cos\left(8\pi-\frac\pi2\right)=\cos\left(-\frac\pi2\right)=0\\ \sin\frac{30\pi}4=\sin\left(-\frac{\pi}2\right)=-1\\ \boxed{(-1+i)^{10}=-32i}$

Использована формула Муавра:
$(\cos a+i\sin a)^n=\cos na+i\sin na$

Answer 3

Щоб піднести комплексне число (-1 + і) до степені 10, спростимо це вираз. Спочатку звернемо увагу на те, що (-1 + і) - це комплексне число з вигляду a + bi, де a = -1 і b = 1. Тому можемо скористатися формулою піднесення комплексного числа до степені:

(a + bi)^n = (a^n) + (na^(n-1))bi - (C(n,2))(a^(n-2))(bi)^2 + ... + (b^n)i^n

де C(n, k) - це коефіцієнт біноміальних коефіцієнтів (n по k).

Для нашого випадку:

n = 10 a = -1 b = 1

Таким чином, ми можемо записати:

(-1 + і)^10 = (-1)^10 + 10(-1)^9і - (C(10,2))(-1)^8і^2 + (C(10,3))(-1)^7і^3 - (C(10,4))(-1)^6і^4 + (C(10,5))(-1)^5і^5 - (C(10,6))(-1)^4і^6 + (C(10,7))(-1)^3і^7 - (C(10,8))(-1)^2і^8 + (C(10,9))(-1)^1і^9 + (і^10)

Тепер розглянемо деякі спрощення:

(-1)^10 = 1

Також, усі коефіцієнти біноміальних коефіцієнтів десятого степеня будуть рівними:

C(10, 0) = C(10, 10) = 1 C(10, 1) = C(10, 9) = 10 C(10, 2) = C(10, 8) = 45 C(10, 3) = C(10, 7) = 120 C(10, 4) = C(10, 6) = 210 C(10, 5) = 252

Таким чином, наш вираз буде мати вигляд:

1 + 10і - 45і^2 + 120і^3 - 210і^4 + 252і^5 - 210і^6 + 120і^7 - 45і^8 + 10і^9 + і^10

Тепер подивимось на степені і:

і^2 = -1 і^3 = -1 * і = -і і^4 = -і * і = -і^2 = -(-1) = 1 і^5 = 1 * і = і і^6 = і * і = і^2 = -1 і^7 = -1 * і = -і і^8 = -і * і = -і^2 = -(-1) = 1 і^9 = 1 * і = і і^10 = і * і = і^2 = -1

Підставимо ці значення назад у вираз:

1 + 10і - 45(-1) + 120(-і) - 210(1) + 252(і) - 210(-1) + 120(-і) - 45(1) + 10і + (-1)

Спростимо:

1 + 10і + 45 + 120і - 210 + 252і + 210 - 120і - 45 + 10і - 1

Тепер об'єднаємо схожі терміни:

(1 - 1) + (10і + 120і - 120і) + (45 + 252і) + (-210 - 45)

Скасовуємо зайві терміни:

0 + 0 + (45 + 252і) + (-210 - 45)

Результат:

-165 + 207і

Отже, (-1 + і)^10 = -165 + 207і.