Question

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует угол 45° с плоскостью основания. Найдите высоту пирамиды, если сторона основания равна 6√3

Answer 1

Пусть SABC- пирамида, SO-высота пирамиды (падает в точку пересечения высот основания-Δ АВС), а АН- высота основания. По теореме Пифагора АН=√ АС^2-СН^2. CH=1/2AC=3√3. Тогда АН=√36*3-9*3=√27*3=9 см
АО=2/3АН=9*2/3=6 см. Δ АSO-прямоугольный(SO-высота) и равнобедренный(∡SAH=45-по условию). Отсюда SO=АН=6 см.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства треугольных пирамид.

Обозначим треугольную пирамиду ABCD, где ABC - равносторонний треугольник, а D - вершина пирамиды. Также, обозначим высоту пирамиды как h, а длину бокового ребра (стороны треугольника) как a.

Так как сторона основания равна 6√3, то a = 6√3.

Мы знаем, что боковое ребро пирамиды образует угол 45° с плоскостью основания (треугольника ABC). Поскольку треугольник ABC - равносторонний, то угол между боковым ребром и любой стороной треугольника равен 60°.

Посмотрим на сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, и проходящей через вершину D и середину BC (пусть это будет точка M). Получится прямоугольный треугольник ADM, где AM - это проекция высоты пирамиды на основание ABC, и DM - это половина бокового ребра (a/2).

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник ADM с углом D = 45°, M = 90° и A = 45°.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения:

1. Тангенс угла A: tan(A) = h / (a/2)
2. Тангенс угла D: tan(D) = h / DM

Тангенс угла 45° равен 1.

Подставим известные значения:

1 = h / (6√3 / 2) => h = 6√3 / 2 = 3√3.

Таким образом, высота пирамиды равна 3√3.