Question

Решите уравнение: 6cos2x sinx+7sin2x=0 Напишите с решением, заранее благодарю вас!!!

Answer 1

6×cos2x× sinx + 7× sin2x = 0
6cos2x × sinx + 14sinx × cosx = 0
2sinx × ( 3cos2x + 7cosx ) = 0
_____________________
sinx = 0
x = πn, n € Z
_____________________

3cos2x + 7cosx = 0
3( 2cos²x - 1 ) + 7cosx = 0
6cos²x + 7cosx - 3 = 0
Сделаем замену:
Пусть cosx = t , t € [ -1; 1 ]
6t² + 7t - 3 = 0
D = 7² - 4×6×(-3) = 49 + 72 = 121 = 11²
t1 = -3/2 = -1,5 - не подходит по условию
t2 = 1/3

cosx = 1/3
x = arccos(1/3) + 2πk, k € Z
x = - arccos(1/3) + 2πm, m € Z

Ответ: πn, n € Z; +- arccos(1/3) + 2πk, k € Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте сначала приведем его к более простому виду. У нас дано уравнение:

6cos^2(x)sin(x) + 7sin^2(x) = 0

Для упрощения уравнения, воспользуемся формулой для двойного угла sin(2x) = 2sin(x)cos(x), чтобы заменить sin^2(x) и cos^2(x):

6cos^2(x)sin(x) + 7sin^2(x) = 6cos(x)sin(x)cos(x) + 7(2sin(x)cos(x))^2

Теперь приведем подобные слагаемые и раскроем квадрат:

6cos(x)sin(x)cos(x) + 28sin^2(x)cos^2(x) = 0

Теперь вынесем общий множитель sin(x)cos(x):

sin(x)cos(x) * (6cos(x) + 28sin(x)cos(x)) = 0

Так как sin(x)cos(x) = 0, только если sin(x) = 0 или cos(x) = 0, то у нас есть два возможных случая:

1. sin(x) = 0: Если sin(x) = 0, то x может быть равным нулю или кратным π, т.е. x = 0, π, 2π, 3π, и так далее.

2. cos(x) + 28sin(x)cos(x) = 0: Выразим cos(x) как общий множитель:

cos(x)(6 + 28sin(x)) = 0

Так как cos(x) = 0, только если x кратно π/2, то это дополнительное решение:

x = π/2, 3π/2, 5π/2, и так далее.

Теперь мы рассмотрели оба случая и нашли все решения уравнения:

x = 0, π, 2π, 3π, ... (кратные π)

и

x = π/2, 3π/2, 5π/2, ... (кратные π/2)