Question

Помогите решить линейное однородное дифференциальное уравнение y"' -5y"=0

Answer 1

Характеристическое уравнение:  $\lambda^3-5\lambda^2=0$
$\lambda^2(\lambda-5)=0\\ \lambda_{1,2}=0;\ \lambda_3=5$
Фундаментальная система решений:  $1;\ x;\ e^{5x}$
Общее решение:  $y=C_1+C_2x+C_3e^{5x}$
Ответ:  $y=C_1+C_2x+C_3e^{5x}$

Answer 2

Конечно, давайте решим данное линейное однородное дифференциальное уравнение:

Уравнение имеет вид: y''' - 5y'' = 0

Для решения данного уравнения предположим, что решение имеет вид y = e^(rt), где r - неизвестная константа.

Тогда найдем производные y по t:

y' = d(e^(rt))/dt = r * e^(rt)

y'' = d(r * e^(rt))/dt = r^2 * e^(rt)

y''' = d(r^2 * e^(rt))/dt = r^3 * e^(rt)

Подставим полученные производные в исходное уравнение:

r^3 * e^(rt) - 5 * r^2 * e^(rt) = 0

Так как e^(rt) не обращается в ноль при любых значениях t, можно сократить его из уравнения:

r^3 - 5 * r^2 = 0

Вынесем общий множитель r^2:

r^2 * (r - 5) = 0

Таким образом, уравнение имеет два корня:

1. r = 0
2. r = 5

Теперь найдем общее решение, используя полученные значения r:

1. r = 0: y = C1 * e^(0t) + C2 * t * e^(0t) + C3 * t^2 * e^(0t) y = C1 + C2 * t + C3 * t^2

2. r = 5: y = C4 * e^(5t)

Где C1, C2, C3 и C4 - произвольные константы.

Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y''' - 5y'' = 0 имеет вид:

y = C1 + C2 * t + C3 * t^2 + C4 * e^(5t)

Где C1, C2, C3 и C4 - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий, если они даны.