Question

З одного порту в інший одночасно відійшли два теплоходи, один з яких рухався на південь, а другий на захід. Через 2 год 30 хв відстань між ними була 125 км. З якою швидкістю рухався кожний теплохід, якщо швидкість першого теплохода була на 10 км/год більше за швидкість другого?

Answer 1

2 часа 30 минут = 2,5 часа

Пусть х (км/ч) - скорость второго теплохода, тогда:

х+10 (км/ч) - скорость первого.

2,5х (км) - путь, пройденный вторым теплоходом за 2,5 часа

2,5(х+10) = 2,5х+25 (км) - путь, пройденный первым теплоходом за 2,5 часа

Теплоходы двигались по катетам прямоугольного треугольника, расстояние между ними - гипотенуза. По теореме Пифагора:

(2.5х)² + (2.5х+25)² = 125²

6.25х² + 6.25x² + 125x + 625 = 15625

12.5x² + 125x - 15000 = 0 |:12.5

x² + 10x - 1200 = 0

D = 10² - 4*(-1200) = 100 + 4800 = 4900 = 70²

x₁ = (-10-70)/2 = -40 - не подходит по условию

x₂ = (-10+70)/2 = 30 (км/ч) - скорость второго теплохода

30 + 10 = 40 (км/ч) - скорость первого.

Ответ: 40 км/ч и 30 км/ч

Answer 2

Пусть х км расстояние которое проплыл второй теплоход, тогда первый проплыл на 10×2,5=25 км больше второго, т.к. 2 ч 30 мин = 2,5 ч; а расстояние х+25. Т.к. угол между западом и югом 90° то движение теплоходов будет по катетам, а расстояние между ними будет гипотенузой прямоугольного треугольника. Составим уравнение:

х²+(х+25)²=125²

х²+х²+2х25+25²=125²

2х²+50х-15000=0

х²+25х-7500=0

D=30625

х₁=-100 не подходит т.к. расстояние не может быть отрицательным.

х₂=75 км проплыл второй теплоход.

75÷2,5=30 км/ч скорость второго теплохода.

30+10=40 км/ч скорость первого теплохода.

Ответ: 40 км/ч и 30 км/ч.

Answer 3

Давайте позначимо швидкість другого теплохода як V км/год. Тоді швидкість першого теплохода буде (V + 10) км/год, оскільки згідно з умовою, він рухався на 10 км/год більше за другий.

Існують два основних вектори руху теплоходів: південь і захід. Вони створюють прямокутний трикутник зі сторонами V + 10, V і гіпотенузою 125 км.

За теоремою Піфагора, можемо записати:

(V + 10)^2 + V^2 = 125^2

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

V^2 + 20V + 100 + V^2 = 15625

Об'єднуємо подібні доданки:

2V^2 + 20V + 100 = 15625

2V^2 + 20V - 15525 = 0

Тепер маємо квадратне рівняння. Його можна розв'язати, використовуючи квадратну формулу:

V = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

де a = 2, b = 20, c = -15525.

V = (-20 ± √(20^2 - 4 * 2 * -15525)) / 2 * 2

V = (-20 ± √(400 + 124200)) / 4

V = (-20 ± √124600) / 4

V = (-20 ± 353.07) / 4

Тепер знаходимо два можливих значення V:

1. V = (-20 + 353.07) / 4 = 333.07 / 4 ≈ 83.27 км/год
2. V = (-20 - 353.07) / 4 = -373.07 / 4 ≈ -93.27 км/год

Враховуючи, що швидкість не може бути від'ємною, отримуємо, що швидкість другого теплохода дорівнює приблизно 83.27 км/год, а першого - (83.27 + 10) ≈ 93.27 км/год.