Question

Доведіть, що x²+y² +8x -10 y +42 >(більше) 0 при всіх дійсних значеннях х і у .

Answer 1

Надеюсь, смог помочь.

Answer 2

Щоб довести, що вираз $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42$ більше 0 для всіх дійсних значень $x$ і $y$, ми можемо використати метод завершення квадрату. Давайте спробуємо перетворити дане рівняння у квадратний тригранник, що легко зрозуміти:

1. Додамо та віднімемо додаткові члени, щоб "завершити квадрат" для частини з $x^2$ і $x$: $x^2 + 8x = x^2 + 8x + 16 - 16 = (x + 4)^2 - 16.$

2. Зробимо аналогічне для частини з $y^2$ і $y$: $y^2 - 10y = y^2 - 10y + 25 - 25 = (y - 5)^2 - 25.$

Тепер ми можемо переписати вираз $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42$ з врахуванням здійснених замін:

$x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42 = (x + 4)^2 - 16 + (y - 5)^2 - 25 + 42.$

Просумуємо квадратні тригранники, щоб отримати кінцевий вираз:

$x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42 = (x + 4)^2 + (y - 5)^2 + 1.$

Тепер очевидно, що $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42$ є сумою квадратів $(x + 4)^2$ та $(y - 5)^2$, а тому завжди додатнє значення (або нуль, якщо $x = -4$ та $y = 5$). Оскільки $1 > 0$, ми можемо стверджувати, що $x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42 > 0$ для всіх дійсних значень $x$ і $y$.