Question

Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость y=2x^3-15x^2+24x+5

Answer 1

Y`(x)=6x^2-30x+24
y``(x)=12x-30
y``(x)<0
12x-30<0
12x<30
x<2.5
Ответ:при x∈(-∞;2.5)-функция выпукла
при x∈(2.5;+∞)-функция вогнута

Answer 2

Чтобы исследовать функцию на выпуклость и вогнутость, нам понадобится найти вторую производную функции и проанализировать её знак на интервалах.

Дана функция: y = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 5

Шаг 1: Найдем первую производную функции y по x: y' = d/dx(2x^3) - d/dx(15x^2) + d/dx(24x) + d/dx(5) y' = 6x^2 - 30x + 24

Шаг 2: Найдем вторую производную функции y' по x: y'' = d/dx(6x^2) - d/dx(30x) + d/dx(24) y'' = 12x - 30

Шаг 3: Найдем точки, в которых производная y' равна нулю, чтобы определить экстремумы: 6x^2 - 30x + 24 = 0

Для решения квадратного уравнения, используем квадратное уравнение x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0: a = 6, b = -30, c = 24 D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 * 6 * 24 = 900 - 576 = 324

Так как дискриминант D > 0, у уравнения два различных действительных корня: x1 = (-b + √D) / 2a = (30 + √324) / 12 = (30 + 18) / 12 = 48 / 12 = 4 x2 = (-b - √D) / 2a = (30 - √324) / 12 = (30 - 18) / 12 = 12 / 12 = 1

Шаг 4: Определим знаки второй производной y'' на интервалах:

1. Когда x < 1: y'' = 12x - 30 Подставим x = 0 (любое число меньше 1): y''(0) = 12 * 0 - 30 = -30 (отрицательное число)

2. Когда 1 < x < 4: y'' = 12x - 30 Подставим x = 2 (любое число между 1 и 4): y''(2) = 12 * 2 - 30 = -6 (отрицательное число)

3. Когда x > 4: y'' = 12x - 30 Подставим x = 5 (любое число больше 4): y''(5) = 12 * 5 - 30 = 30 (положительное число)

Шаг 5: Исследуем выпуклость и вогнутость функции:

• Функция будет выпуклой вниз (вогнутой вверх) на интервалах, где y'' < 0.
• Функция будет выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервалах, где y'' > 0.

Итак, наша функция y = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 5 будет выпуклой вниз (вогнутой вверх) на интервалах (-∞, 1) и (4, +∞), и выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (1, 4).

Экстремумы:

1. Максимум при x = 1
2. Минимум при x = 4

Таким образом, выпуклость и вогнутость функции y = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 5 выглядят следующим образом:

• Вогнутая вверх (выпуклая вниз) на интервале (-∞, 1) и (4, +∞).
• Выпуклая вверх (вогнутая вниз) на интервале (1, 4).
• Минимум при x = 4.
• Максимум при x = 1.