Question

шар вписан в прямую призму, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. в этом треугольнике перпендикуляр, опущиный из вершины прямого угла на гипотенузу, равен 1 и составляет с одним из катетов угол 15°. Найдите объем призмы

Answer 1

Сos^2(15`)=(1+cos30`)/2=(2+√3)/4; cos15`=√(2+√3)/2
sin^2(15`)=(1-cos30`)/2; sin15`=√(2-√3)/2
a=1/cos15=2/√(2+√3)
b=1/sin15=2/√(2-√3)
c^2=a^2+b^2=16; c=4
r=(a+b-c)/2=√(2-√3)+√(2+√3)-2
H(высота призмы)=2r=2(√(2-√3)+√(2+√3)-2)
S(осн)=сh/2=ab/2=2
V=S(осн)*H=2*2(√(2-√3)+√(2+√3)-2)≈1.8

Answer 2

Для решения задачи найдем размеры прямоугольного треугольника и затем вычислим объем призмы.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AC - гипотенуза, AB и BC - катеты. Пусть H - высота, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу AB. По условию, H = 1 и угол между H и катетом AB равен 15°.

Сначала найдем размеры треугольника ABC:

Угол CAB = 90° (прямой угол, так как ABC - прямоугольный треугольник). Угол CBA = 180° - 90° - 15° = 75° (по условию). Теперь мы знаем два угла треугольника, и можем найти третий угол:

Угол BAC = 180° - 90° - 75° = 15°.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH:

Угол HAB = 90° (прямой угол, так как ABH - прямоугольный треугольник). Угол AHB = 15° (по условию).

Таким образом, у нас есть треугольник ABH, в котором известны два угла и сторона AH (высота), равная 1.

Чтобы найти стороны треугольника ABH, воспользуемся тригонометрией. Пусть AB = x, BH = y.

Тангенс угла AHB (tg 15°) равен отношению противолежащего катета (AH = 1) к прилежащему катету (BH = y):

tg 15° = AH / BH √3 - 1 = 1 / y y = 1 / (√3 - 1) y = √3 + 1

Теперь, зная катет BH, можем найти катет AH с использованием теоремы Пифагора для треугольника ABH:

AH^2 + BH^2 = AB^2 1^2 + (√3 + 1)^2 = x^2 1 + 3 + 2√3 + 1 = x^2 x^2 = 5 + 2√3 x = √(5 + 2√3)

Теперь у нас есть размеры прямоугольного треугольника ABC:

AB = √(5 + 2√3) BC = √3 + 1 AC = 2√(5 + 2√3).

Теперь найдем объем призмы, вписанной в этот треугольник:

Объем призмы = Площадь основания * Высота

Площадь основания прямоугольной призмы равна площади треугольника ABC:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB * BC Площадь треугольника ABC = (1/2) * √(5 + 2√3) * (√3 + 1).

Теперь можем найти объем призмы:

Объем призмы = (1/2) * √(5 + 2√3) * (√3 + 1) * H Объем призмы = (1/2) * √(5 + 2√3) * (√3 + 1) * 1 Объем призмы = (1/2) * √(5 + 2√3) * (√3 + 1).

Окончательный ответ:

Объем призмы, вписанной в прямоугольный треугольник, равен (1/2) * √(5 + 2√3) * (√3 + 1).