Question

Решить уравнение y'=yx-3x^2y решить уравынение 2y'+y^2x^7+8xy^2=0

Answer 1

1.

y' = yx - 3x^2*y = y*(x - 3x^2)

y'/y = x - 3x^2 | интегрирование:

lny = x^2/2 - x^3 + lnC | e^

y = C * e^(x^2/2 - x^3)

2.

2y' + y^2*x^7 + 8xy^2 = 0

- 2y' / y^2 = x^7 + 8x

2/y = x^8/8 + 4x^2 + 2C

y = 1/(2x^2 + x^8/16 + C)

Answer 2

Давайте решим оба уравнения по очереди.

1. Уравнение y' = yx - 3x^2y:

Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка и может быть решено с помощью метода разделяющихся переменных.

Перепишем уравнение в виде:

dy/dx = yx - 3x^2y

Разделим переменные, перемещая все, что содержит y на одну сторону, а все, что содержит x, на другую:

dy/(y - 3x^2y) = x dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/(y - 3x^2y)) dy = ∫x dx

Для интегрирования левой части, воспользуемся методом частных дробей:

1/(y - 3x^2y) = A/y + B/(1 - 3x^2), где A и B - неизвестные коэффициенты.

Умножим обе части на (y - 3x^2y):

1 = A(1 - 3x^2) + By

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях y и x:

1. При y^0: A(1 - 3x^2) = 1
2. При y^1: B = 0

Из первого уравнения находим A:

A = 1/(1 - 3x^2)

Теперь найдем y:

y = ∫A dx = ∫(1/(1 - 3x^2)) dx

Для интегрирования правой части используем метод подстановки:

Замена: u = √3x, du = √3 dx

y = ∫(1/(1 - u^2)) * (1/√3) du = (1/√3)arctan(u) + C

Вернемся к переменной x:

y = (1/√3)arctan(√3x) + C

где C - произвольная постоянная.

2. Уравнение 2y' + y^2x^7 + 8xy^2 = 0:

Данное уравнение также является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Выразим y':

2y' = -y^2x^7 - 8xy^2

y' = (-y^2x^7 - 8xy^2)/2

y' = -0.5y^2x^7 - 4xy^2

Теперь решим полученное дифференциальное уравнение, разделяя переменные:

dy/y^2 = (-0.5x^7 - 4x) dx

∫(1/y^2) dy = ∫(-0.5x^7 - 4x) dx

Для интегрирования левой части воспользуемся тем, что ∫(1/y^2) dy = -1/y:

-1/y = -0.5 * (1/8)x^8 - 2x^2 + C

Умножим обе стороны на -y:

1 = 0.5 * (1/8)x^8y + 2xy + Cy

Теперь найдем y:

1 - 2xy = 0.5 * (1/8)x^8y + Cy

Перенесем все члены с y влево:

0.5 * (1/8)x^8y + 2xy - y = 1 + Cy

Факторизуем y:

y(0.5 * (1/8)x^8 + 2x - 1) = 1 + Cy

y = (1 + Cy)/(0.5 * (1/8)x^8 + 2x - 1)

где C - произвольная постоянная.