Question

Помогите пожалуйста!!! Найдите промежуток монотонности и экстремумы функции y=x^3-6x^2+3

Answer 1

y`=3x^2-12x

y`=0

3x^2-12x=0

x(3x-12)=0

x1=0

3x-12=0

3x=12

x=4

Возрастает(-∞;0)

Убывает(0;4)

Возрастает(4;+∞)

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции y = x^3 - 6x^2 + 3, нам понадобится вычислить производную этой функции и решить неравенство, чтобы найти интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Это позволит нам определить возрастание и убывание функции и найти точки экстремумов.

1. Вычислим производную функции y по переменной x: y'(x) = d/dx (x^3 - 6x^2 + 3) = 3x^2 - 12x.

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 12x = 0.

3. Решим уравнение: 3x(x - 4) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки: x1 = 0 и x2 = 4.

Теперь проанализируем интервалы между этими точками и определим знак производной в этих интервалах:

a) Когда x < 0: Выберем точку x = -1 (любое значение меньше 0), и проверим знак производной: y'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 (положительное значение). Таким образом, производная положительна на интервале (-∞, 0).

b) Когда 0 < x < 4: Выберем точку x = 1 (любое значение между 0 и 4), и проверим знак производной: y'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9 (отрицательное значение). Таким образом, производная отрицательна на интервале (0, 4).

c) Когда x > 4: Выберем точку x = 5 (любое значение больше 4), и проверим знак производной: y'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 (положительное значение). Таким образом, производная положительна на интервале (4, ∞).

Теперь соберем всю информацию вместе:

1. Функция возрастает на интервале (-∞, 0) и (4, ∞).
2. Функция убывает на интервале (0, 4).

Теперь найдем экстремумы функции:

a) Локальный минимум: Локальный минимум возникает в точке x = 0 (критическая точка). Подставим x = 0 в исходную функцию, чтобы найти значение y: y(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 3 = 3. Таким образом, локальный минимум равен (0, 3).

b) Локальный максимум: Локальный максимум возникает в точке x = 4 (критическая точка). Подставим x = 4 в исходную функцию, чтобы найти значение y: y(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 3 = 64 - 96 + 3 = -29. Таким образом, локальный максимум равен (4, -29).

Итак, промежуток монотонности функции y = x^3 - 6x^2 + 3: функция возрастает на интервале (-∞, 0) и (4, ∞), а убывает на интервале (0, 4). Есть локальный минимум в точке (0, 3) и локальный максимум в точке (4, -29).