Question

100 конфет лежат в 50 коробках. Девочка и мальчик по очереди берут по одной конфете. Начинает девочка. Доказать, что мальчик может играть так, чтобы две последние конфеты оказались в одной коробке.

Answer 1

Покажем, что мальчик может взять свою первую конфету таким образом, чтобы после этого хотя бы одна коробка освободилась. После того, как девочка взяла первую конфету, осталось 2n-1 конфет в n коробках, и следовательно, в какой-то из коробок осталось не более одной конфеты. Если в этой коробке нет конфет, то мальчик может взять конфету из любой коробки. Если же в этой коробке одна конфета, пусть мальчик возьмет ее. Итак, после того, как мальчик берет первую конфету, одна коробка становится пустой и остается 2(n-1) конфет, разложенных в n-1 коробок. Если мальчик будет и дальше действовать таким образом, то после того, как он возьмет вторую конфету, две коробки становятся пустыми, и т.д., после того, как мальчик возьмет k-ую конфету, k коробок становятся пустыми. В конце концов, после того, как мальчик возьмет (n-1)-ую конфету, все коробки, за исключением одной, становятся пустыми. Это и означает, что две оставшиеся конфеты лежат в одной коробке.

Answer 2

Давайте рассмотрим эту игру и докажем, что мальчик может играть так, чтобы две последние конфеты оказались в одной коробке.

1. В самом начале игры есть 100 конфет и 50 коробок.

2. Поскольку девочка начинает, она берет одну конфету. Теперь у нас осталось 99 конфет.

3. Теперь мальчик делает следующий ход. Он должен взять конфету таким образом, чтобы после его хода количество конфет в каждой коробке было нечетным (то есть 1, 3, 5, ...), за исключением одной коробки, где количество конфет будет четным.

4. Когда мальчик взял одну конфету, у нас осталось 98 конфет. Мы можем разместить их таким образом, чтобы в каждой коробке было нечетное количество конфет, кроме одной коробки, где будет четное количество.

5. Теперь девочка делает свой ход, и в коробках по-прежнему остается нечетное количество конфет, за исключением одной коробки, где их четное количество.

6. Мальчик продолжает выбирать конфеты и кладет их в коробки таким образом, чтобы в каждой коробке оставалось нечетное количество конфет, кроме одной коробки, где их будет четное количество.

7. Продолжая такую стратегию, мальчик наконец достигнет ситуации, когда останется всего две конфеты.

8. При этом в каждой коробке, кроме одной, будет нечетное количество конфет, и в оставшейся коробке останется две конфеты - что и требовалось доказать.

Таким образом, мальчик может играть таким образом, чтобы две последние конфеты оказались в одной коробке.