Question

При каком натуральном n число вида n^3 - 6n + 4 будет простым?

Answer 1

При n=3
n³-6n+4=3³-6*3+4=27-18+4=13 простое

Answer 2

Для того чтобы число вида n^3 - 6n + 4 было простым, оно должно быть простым числом само по себе, то есть иметь только два делителя: 1 и само число.

Давайте рассмотрим это более подробно. Пусть число n^3 - 6n + 4 простое, тогда оно не имеет делителей, кроме 1 и самого себя.

Выразим n^3 - 6n + 4 как разность куба и шестерки: n^3 - 6n + 4 = (n^3 - 8) + 2 = (n - 2)(n^2 + 2n + 4).

Теперь у нас есть разложение данного выражения на множители. Если n^3 - 6n + 4 является простым числом, то у него должен быть всего один множитель, а значит, один из двух множителей должен быть равен 1.

1. Пусть (n - 2) = 1, тогда n = 3.
2. Пусть (n^2 + 2n + 4) = 1, тогда уравнение n^2 + 2n + 3 = 0 не имеет целочисленных решений. Оно может быть решено с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 2^2 - 413 = -8, а так как D < 0, уравнение не имеет целочисленных решений.

Таким образом, единственное натуральное n, при котором число n^3 - 6n + 4 является простым, это n = 3. Подставляя n = 3 в исходное выражение, получаем: 3^3 - 6*3 + 4 = 27 - 18 + 4 = 13, что действительно является простым числом.