Question

Назовем длиной натурального числа количество простых сомножителей в его разложении. Например, длина числа 90 равна 4, так как 90=2⋅3⋅3⋅5. Натуральное число A в 12 раз больше натурального числа B, а длина произведения A⋅B равна 15. Чему равна длина числа A?

Answer 1

Если число A в 12 раз больше числа B, то B=A/12; Произведение числе А и В равно $\frac{A\times A}{12}=\frac{A^{2}}{3\times2\times2}$; Число A×B - целое, значит A² делится на 12, то есть в разложении числа A можно выделить произведение 3×2×2. Значит A² имеет длину 15+3=18. Следовательно длина числа A равна 18/2=9

Answer 2

Давайте рассмотрим натуральное число B. Если число A в 12 раз больше числа B, то можно записать это как:

A = 12B

Теперь давайте рассмотрим произведение A⋅B:

A⋅B = 12B⋅B = 12B^2

Длина числа A⋅B равна 15, что означает, что произведение имеет 15 простых сомножителей.

Теперь нам нужно разложить 12B^2 на простые множители и определить его длину.

12B^2 = 2^2 ⋅ 3 ⋅ B^2

Теперь мы знаем, что длина числа 12B^2 равна 4 + k, где k - длина числа B^2 (так как 2^2 и 3 - фиксированные простые сомножители).

У нас есть информация, что длина числа A⋅B равна 15:

4 + k = 15

k = 15 - 4 k = 11

Таким образом, длина числа B^2 равна 11. Теперь мы можем определить длину числа B:

Длина числа B = k + 2 = 11 + 2 = 13

Теперь, чтобы найти длину числа A, мы можем использовать первое уравнение A = 12B:

Длина числа A = 12 * Длина числа B = 12 * 13 = 156

Итак, длина числа A равна 156.