Question

Решить уравнение : Объясните, если вам не трудно |x+1|-|x-2|+|3x+6|=5

Answer 1

Подробное решение
в конце страницы написан ответ

Answer 2

постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля, поэтому уравнение примет вид:

|x+1|-|x-2|+3|x+2|=5

Универсальный метод решения уравнений с модулями - метод интервалов (метод расщепления)

Найдем нули подмодульных выражений:

x+1=0 => x=-1

x-2=0 => x=2

x+2=0 => x=-2

Составим небольшую таблицу, по которой определим знак каждого промежутка с помощью пробной точки (см. рисунок)

Если в промежутке стоит +, то модуль просто опускается, если же -, то знаки под модулем меняются на противоположные

1 случай)

$\left\{\begin{matrix} x$

2 случай)

$\left\{\begin{matrix} -2\leq x$

3 случай)

$\left\{\begin{matrix} -1\leq x$

4 случай)

$\left\{\begin{matrix} x \geq 2\\(x+1)-(x-2)+3(x+2)=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 2\\x+1-x+2+3x+6=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 2\\3x= -4\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 2\\x= -\frac{4}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x \in \O \\ \\ \\ OTBET: \ -\frac{14}{3}; \ 0$

Answer 3

Для решения уравнения с модулями, нужно рассмотреть различные интервалы, на которых значение выражения в модулях может быть разным. Затем в каждом интервале решить уравнение без модулей.

Уравнение имеет следующий вид:

| x + 1 | - | x - 2 | + | 3x + 6 | = 5

Давайте рассмотрим различные интервалы и определим знаки выражений в модулях:

1. x < -1: В этом интервале x + 1 и x - 2 оба отрицательны, а 3x + 6 положительно. Поэтому уравнение примет вид:

(-x - 1) - (-x + 2) + (3x + 6) = 5

Раскроем скобки и упростим:

-x - 1 + x - 2 + 3x + 6 = 5

Объединим переменные x:

3x + 3 = 5

Вычтем 3 с обеих сторон:

3x = 2

Разделим на 3:

x = 2/3

2. -1 ≤ x < 2: В этом интервале x + 1 положительно, x - 2 и 3x + 6 отрицательны. Уравнение примет вид:

(x + 1) - (-x + 2) - (3x + 6) = 5

Раскроем скобки и упростим:

x + 1 + x - 2 - 3x - 6 = 5

Объединим переменные x:

-x - 7 = 5

Добавим 7 с обеих сторон:

-x = 12

Изменим знак:

x = -12

3. x ≥ 2: В этом интервале x + 1 и x - 2 оба положительны, а 3x + 6 также положительно. Уравнение примет вид:

(x + 1) - (x - 2) + (3x + 6) = 5

Раскроем скобки и упростим:

x + 1 - x + 2 + 3x + 6 = 5

Объединим переменные x:

3x + 9 = 5

Вычтем 9 с обеих сторон:

3x = -4

Разделим на 3:

x = -4/3

Итак, мы получили три возможных значения x: x = 2/3, x = -12 и x = -4/3. Проверим каждое из них, подставив в исходное уравнение:

При x = 2/3: |2/3 + 1| - |2/3 - 2| + |3(2/3) + 6| = |5/3| - |4/3| + |14/3| = 5 - 4 + 14 = 15 (не верно)

При x = -12: |-12 + 1| - |-12 - 2| + |3(-12) + 6| = |-11| - |-14| + |-30| = 11 - 14 + 30 = 27 (не верно)

При x = -4/3: |-4/3 + 1| - |-4/3 - 2| + |3(-4/3) + 6| = |1/3| - |10/3| + |2| = 1/3 - 10/3 + 2 = -7/3 (верно)

Таким образом, единственное верное значение x равно -4/3.