Question

Найти производную y'="eˣ²*cos³4x)' (е в степени х в квадрате) И если можете, напишите формулы по каким вы нашли её

Answer 1

$\displaystyle y' = (e^{x^2} \times cos^34x)' = (e^{x^2})'cos^34x+e^{x^2}(cos^34x)'=\\\\=e^{x^2}(x^2)'cos^34x+e^{x^2}3cos^24x(cos4x)' =\\\\=2xe^{x^2}cos^34x-12e^{x^2}sin4xcos^24x$

Answer 2

Давайте разберемся с производной данной функции шаг за шагом.

Функция y(x) представлена в виде: y(x) = (e^(x²) * cos³(4x)).

Чтобы найти производную y'(x) этой функции, мы должны применить правила дифференцирования для произведения функций и сложной функции (цепного правила).

По шагам:

1. Применяем правило произведения функций: (d/dx)(u * v) = u' * v + u * v',

где u = e^(x²), u' - производная по x от u, v = cos³(4x), v' - производная по x от v.

2. Находим производную u'(x) от функции u = e^(x²): (u'(x) = d/dx(e^(x²))).

Здесь используем цепное правило: Если u(x) = e^v(x), то u'(x) = v'(x) * e^v(x).

В данном случае v(x) = x², поэтому v'(x) = 2x. Таким образом, u'(x) = 2x * e^(x²).

3. Теперь находим производную v'(x) от функции v = cos³(4x): (v'(x) = d/dx(cos³(4x))).

Снова используем цепное правило: Если u(x) = f(g(x)), то u'(x) = f'(g(x)) * g'(x).

В данном случае f(x) = cos³x, а g(x) = 4x. Таким образом, f'(x) = 3cos²x * (-sinx) (производная cos³x) и g'(x) = 4 (производная 4x).

Теперь применяем найденные значения:

v'(x) = 3cos²(4x) * (-sin(4x)) * 4.

4. Теперь, когда у нас есть u'(x) и v'(x), можем вычислить y'(x) согласно правилу произведения функций:

y'(x) = u' * v + u * v' y'(x) = (2x * e^(x²)) * cos³(4x) + e^(x²) * (3cos²(4x) * (-sin(4x)) * 4).

Это и есть итоговая производная y'(x) данной функции.