Question

Помогите найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y''+9y=0 y(0)=0 y'(0)=2

Answer 1

ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами. Полагаем, что решение пропорционально e^(kx), подставляем в уравнение:

(е^(kx))" +9e^(kx)=0

k^2*e^(kx)+9e^(kx)=0

e^(kx)*(k^2 +9)=0, делим все уравнение на e^(kx):

k^2+9=0

Находим корни, они комплексные:

k1=-3i, k2=3i.

Получаем решение в виде

y(x)= c1cos(3x)+ c2sin(3x)

Константы находим из условий y(0)=0

c1=0 => y(x)= c2sin(3x)

Дифференцируем:

y'(x)= 3c2cos(3x)

y'(0)=0 => c2=0.

Таким образом, решением задачи Коши будет являться функция y(x)=0.

Удачи вам!

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с начальными условиями, мы можем сначала найти характеристическое уравнение, а затем решить его.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

r^2 + 9 = 0

Решим это уравнение для r:

r^2 = -9

r = ±√(-9) = ±3i

Корни характеристического уравнения имеют мнимую часть, что означает, что общее решение будет содержать синусы и косинусы.

Общее решение имеет вид:

y(t) = c1cos(3t) + c2sin(3t)

Теперь применим начальные условия, чтобы найти значения констант c1 и c2.

y(0) = 0: 0 = c1cos(0) + c2sin(0) 0 = c1

y'(0) = 2: y'(t) = -3c1sin(3t) + 3c2cos(3t) y'(0) = -3c1sin(0) + 3c2cos(0) 2 = 3*c2

Таким образом, мы нашли значения констант:

c1 = 0 c2 = 2/3

Итак, частное решение с начальными условиями будет:

y(t) = (2/3) * sin(3t)

Это является окончательным решением данного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.