Question

Найти экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания y=x^2/1+x.

Answer 1

Дана функция у = х²/(1 + х).

Производная равна y' = (x(x + 2))/((1 + x)²).

Приравняв её нулю (достаточно числитель), видим, что имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -2.

Для определения их характера определяем знаки производной на промежутках с учётом, что функция имеет разрыв в точке х = -1.

х = -3        -2    -1,5      -0,5  0      1

у' = 0,75 0 -3     -3        0      0,75 .

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

В точке х = -2 максимум, в точке х = 0 минимум.

Возрастает на промежутках (-∞; -2) ∪ (0; +∞).

Убывает (-2; -1) ∪ (-1; 0).

Answer 2

ДАНО:   y = x²/(1+x).

1. Область определения:  х ≠ -1.

2. Производная функции.

$y'(x)=\frac{2*x}{x+1}-\frac{x^2}{(x+1)^2}$

Корни производной при х1 = -2 и х2=0

3. Локальные экстремумы.

Ymax(-2) = -4 - максимум,  Ymin(0) = 0.

4. Наклонная асимптота.  y = x - 1.

На втором рисунке ДЛЯ ОБРАЗЦА.показаны экстремумы, области возрастания и убывания, монотонность.

Answer 3

Для того чтобы найти экстремумы функции $y = \frac{x^2}{1+x}$ и интервалы её возрастания и убывания, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y$ по переменной $x$.
2. Решите уравнение $y' = 0$ для нахождения критических точек (точек, в которых производная равна нулю или не существует).
3. Определите знак производной $y'$ в промежутках между критическими точками и на краях области определения функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания.
4. Определите значения функции в критических точках и на краях области определения для нахождения экстремумов.

Шаг 1: Найдем производную $y'$ функции $y$ по переменной $x$:

$y = \frac{x^2}{1+x}$

Применяем правило дифференцирования частного функций:

$y' = \frac{(1+x)(2x) - x^2(1)}{(1+x)^2}$

$y' = \frac{2x+2x^2 - x^2}{(1+x)^2}$

$y' = \frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2}$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

$y' = \frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2} = 0$

$x^2 + 2x = 0$

$x(x+2) = 0$

Таким образом, получаем две критические точки: $x = 0$ и $x = -2$.

Шаг 3: Определим знак производной $y'$ в промежутках между критическими точками и на краях области определения функции.

1. Когда $x < -2$, $y' = \frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2}$. Подставим, например, $x = -3$ в $y'$:

$y' = \frac{(-3)^2 + 2(-3)}{(1+(-3))^2} = \frac{9 - 6}{(-2)^2} = \frac{3}{4} > 0$

2. Когда $-2 < x < 0$, $y' = \frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2}$. Подставим, например, $x = -1$ в $y'$:

$y' = \frac{(-1)^2 + 2(-1)}{(1+(-1))^2} = \frac{1 - 2}{0^2} = -\infty$ (Здесь производная не существует из-за деления на ноль.)

3. Когда $x > 0$, $y' = \frac{x^2 + 2x}{(1+x)^2}$. Подставим, например, $x = 1$ в $y'$:

$y' = \frac{1^2 + 2(1)}{(1+1)^2} = \frac{3}{4} > 0$