Question

Напишите пожалуйста доказательство.Вовочка умножил в столбик некоторое число n на число n+1 и получил число, в записи которого участвуют лишь цифры 1,3,4,5,7,8 и 9.Докажите что Вовочка не прав

Answer 1

n*n+1.

Варианты последних цифр числа:

0*1=0

1*2=2

2*3=6

3*4=12

4*5=20

5*6=30

6*7=42

7*8=56

8*9=72

9*0= 0

В каждом из вариантов есть цифры 0,2 или 6. Значит, Вовочка ошибся

Answer 2

Предположим, что Вовочка умножил число n на число n+1 и получил число, в котором участвуют только цифры 1, 3, 4, 5, 7, 8 и 9. Давайте рассмотрим, какие цифры могут участвовать в записи произведения n и n+1.

Пусть n - произвольное натуральное число. Тогда n+1 - следующее за ним натуральное число.

При умножении двух чисел, наибольшее значение цифры произведения равно произведению наибольших значений этих чисел. Посмотрим на таблицу умножения для цифр 1, 3, 4, 5, 7, 8 и 9:

Copy code
1 * 1 = 1
1 * 3 = 3
1 * 4 = 4
1 * 5 = 5
1 * 7 = 7
1 * 8 = 8
1 * 9 = 9
3 * 3 = 9
3 * 4 = 12
3 * 5 = 15
3 * 7 = 21
3 * 8 = 24
3 * 9 = 27
4 * 4 = 16
4 * 5 = 20
4 * 7 = 28
4 * 8 = 32
4 * 9 = 36
5 * 5 = 25
5 * 7 = 35
5 * 8 = 40
5 * 9 = 45
7 * 7 = 49
7 * 8 = 56
7 * 9 = 63
8 * 8 = 64
8 * 9 = 72
9 * 9 = 81

Теперь рассмотрим, какие цифры участвуют в произведении:

1. Из таблицы видно, что в произведении никогда не получается цифра 2, 6, и 0.

2. Также в произведении никогда не получается число, оканчивающееся на 1, 3, 4, 6, 7 или 9, кроме случаев, когда одно из чисел - это 1.

3. В произведении никогда не получается число, оканчивающееся на 5, кроме случаев, когда одно из чисел - это 5.

Таким образом, в произведении чисел n и n+1 участвуют только цифры 1, 3, 4, 5, 7, 8 и 9. Доказано, что Вовочка прав.