Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC и BD пересекаются в точке O. При этом площадь треугольника ABD равна 4, а площадь треугольника BOC=24. Площадь AOD в три раза меньше площади OCD. Найдите площадь четырёхугольника ABCD

Answer 1

Для краткости и ясности записи пусть OA = a; OB = b; OC = c; OD = d;

Площадь AOB Saob = a*b*sin(Ф)/2; где Ф = ∠AOB;  

аналогично Sboc = b*c*

Answer 2

3883_82 =*# ответ 20

Answer 3

Для решения этой задачи давайте введем некоторые обозначения:

Пусть S - площадь четырехугольника ABCD. Пусть S1 - площадь треугольника ABD. Пусть S2 - площадь треугольника BOC. Пусть S3 - площадь треугольника AOD. Пусть S4 - площадь треугольника OCD.

У нас есть следующие данные: S1 = 4, S2 = 24, S3 = S4 / 3.

Теперь заметим, что площадь четырехугольника ABCD можно выразить как сумму площадей треугольников ABD, BOC, AOD и OCD:

S = S1 + S2 + S3 + S4.

Мы знаем значения S1 и S2, и можем выразить S4 через S3, так как S3 = S4 / 3:

S4 = 3 * S3.

Теперь мы можем переписать формулу для S:

S = S1 + S2 + S3 + S4 = 4 + 24 + S3 + 3 * S3 = 28 + 4 * S3.

Осталось найти значение S3. Для этого нам понадобятся отношения площадей треугольников, образованных пересекающимися диагоналями в выпуклом четырехугольнике. Согласно свойству, площадь треугольника AOD должна быть равна площади треугольника BOC, т.е. S3 = S2.

Теперь мы можем выразить S через S2:

S = 28 + 4 * S3 = 28 + 4 * S2 = 28 + 4 * 24 = 28 + 96 = 124.

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 124 квадратным единицам.