Question

Задание 2. Коля брал двузначные числа и складывал их с числами, записанными теми же цифрами, но в обратном порядке. Взял 23 - получил 55. Взял 18 - получил 99. Взял 52 - получил 77. Тогда он предположил, что у такой суммы все цифры будут одинаковы. а) Покажите, что Коля неправ. б) Попробуйте разобраться, для каких чисел гипотеза Коли всё же справедлива и объяснить, в чём тут секрет. ОПЫТЫ МОЖНО СТАВИТЬ НЕ ТОЛЬКО НАД ЦИФРАМИ.

Answer 1

А. К примеру 87+78=165 и гипотеза Коли опровергается.

Б. Суммы, вычисляемые Колей, делятся на 11. Поэтому гипотеза Коли верна в тех случаях, когда в результате сложения получается двузначное число.

Answer 2

а) Покажем, что гипотеза Коли неверна. Возьмем, например, число 46. Если сложить его с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке (то есть 64), получим:

46 + 64 = 110

В данном случае, сумма не состоит из одинаковых цифр.

б) Попробуем понять, для каких чисел гипотеза Коли все же верна. Предположим, что у нас есть двузначное число с цифрами "ab" (где "a" - десятки, "b" - единицы). Число, записанное в обратном порядке, будет "ba".

Теперь сложим эти два числа:

10a + b + 10b + a

Упростим:

11a + 11b

Теперь можно вынести общий множитель 11:

11(a + b)

Таким образом, видно, что сумма будет кратна 11 и состоит из двух одинаковых цифр. Например:

1. При a = 1 и b = 9: 11(1 + 9) = 11 * 10 = 110

2. При a = 2 и b = 8: 11(2 + 8) = 11 * 10 = 110

3. При a = 3 и b = 7: 11(3 + 7) = 11 * 10 = 110

И так далее.

Таким образом, гипотеза Коли верна для всех двузначных чисел, состоящих из одинаковых цифр. Это происходит из-за особенностей сложения таких чисел, которые всегда дают кратное 11 число.