Question

Знайти площу фігури, обмеженої лініями y=-x^2+2x; y=x^2

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома кривими лініями, потрібно взяти інтеграл від різниці цих двох функцій на відрізку, на якому вони перетинаються.

Спочатку знайдемо точки перетину обох кривих, рівняючи їх одна одній:

y = -x^2 + 2x y = x^2

-x^2 + 2x = x^2

2x^2 - 2x = 0

2x(x - 1) = 0

x = 0 або x = 1.

Тепер, щоб знайти площу фігури, обмеженої цими двома кривими, потрібно обчислити відповідний інтеграл на відрізку [0, 1].

Площа фігури S обчислюється як:

S = ∫[0,1] (x^2 - (-x^2 + 2x)) dx

S = ∫[0,1] (x^2 + x^2 - 2x) dx

S = ∫[0,1] (2x^2 - 2x) dx

Тепер інтегруємо за x:

S = (2/3)x^3 - x^2 | [0,1]

S = (2/3)(1)^3 - (1)^2 - [(2/3)(0)^3 - (0)^2]

S = 2/3 - 1 - 0

S = -1/3.

Отже, площа фігури, обмеженої кривими y = -x^2 + 2x та y = x^2, становить -1/3 квадратних одиниць. Зауважте, що площа може бути від'ємною, якщо криві перетинаються у певних точках та перебувають від'ємній області нижче осі x на деяких відрізках.