Question

Помогите решить задачу (выш.мат.) Больному делается инъекция в момент времени t=0. Концентрация лекарственного препарата в крови в момент времени t описывается зависимостью , где a>0, b>0. Определить момент времени, когда концентрация достигнет максимума.

Answer 1

Вычисляем производную:

$c'=c_0(be^{-bt}-ae^{-at})$

В момент времени t = 0 концентрация c(0) = 0, производная $c'(0)=c_0(b-a)$. Концентрация не может быть отрицательной, поэтому осмысленным ситуациям соответствует ситуация b > a (считаю, что $c_0>0$).

Найдём, при каком t производная равна нулю:

$c_0(be^{-bt}-ae^{-at})=0\\e^{(b-a)t}=\dfrac ba\\t=\dfrac{\ln (b/a)}{b-a}$

При b > a вычисленное значение t > 0, при меньших t производная c' > 0, при больших - c' < 0, значит, при этом t достигается максимум.

$\boxed{t=\dfrac{\ln (b/a)}{b-a}}$

Answer 2

Для определения момента времени, когда концентрация лекарственного препарата в крови достигнет максимума, нужно найти значение времени t, при котором производная концентрации по времени равна нулю.

Дано: Концентрация лекарственного препарата в крови в момент времени t описывается функцией C(t) = a * t * e^(-b * t), где a > 0, b > 0.

Производная функции C(t) по времени t: dC/dt = a * e^(-b * t) - a * b * t * e^(-b * t)

Теперь приравняем производную к нулю и найдем момент времени t, при котором концентрация достигнет максимума:

a * e^(-b * t) - a * b * t * e^(-b * t) = 0

Факторизуем выражение: e^(-b * t) * (a - a * b * t) = 0

Так как экспоненциальная функция e^(-b * t) никогда не равна нулю, то (a - a * b * t) должно быть равно нулю:

a - a * b * t = 0

Теперь решим уравнение относительно t:

a * b * t = a

t = a / (a * b)

t = 1 / b

Таким образом, момент времени, когда концентрация лекарственного препарата в крови достигнет максимума, равен t = 1 / b.