Question

двое проводят время за игрой :по очереди называют не превосходящие 100 простые числа так, чтобы последняя цифра числа ,названного одним игроком ,была равна первой цифре числа, которое следующим ходом называет второй (кроме самого первого простого числа ,названного в игре). Повторять уже названные ранее числа нельзя. Проигрывает тот,кто не может назвать по этим правилам очередное простое число .Докажите ,что один из игроков может действовать так,чтобы гарантированно обеспечить себе выигрыш, и найдите наименьшее возможное количество простых чисел,которые этот игрок назовет в такой игре. Ответ дайте в виде целого числа.

Answer 1

Ответ:

Для отыскания решения удобно начинать рассуждения с конца.  

Если один из игроков предпоследний раз назовет число 56, то какое бы число ни назвал другой игрок, он не сможет получить 66. Перед числом 56 надо назвать число 46.  

Рассуждая аналогично, получаем ряд чисел: 66, 56, 46, 36, 26, 16, 6. Этих чисел семь — нечетное число, значит, победит первый игрок.  

Для выигрыша он должен последовательно называть числа: 6, 16, 26, 36, 46, 56 и 66

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Докажем, что один из игроков может гарантированно обеспечить себе выигрыш.

Предположим, что первый игрок может назвать первое простое число (2) и затем второй игрок должен назвать число, начинающееся с цифры 2, так как следующее простое число, равное или большее 100, начинается с цифры 1. После этого первый игрок должен назвать число, начинающееся с цифры 2, и так далее. Таким образом, второй игрок всегда должен называть число, начинающееся с той же цифры, что и предыдущее число, названное первым игроком.

Теперь обратим внимание на ограничения, накладываемые на второго игрока. Он не может назвать никакое простое число, которое уже было названо ранее, и он также не может назвать число, начинающееся с цифры 1, так как второе простое число равно 3, и после этого нет простых чисел, начинающихся с цифры 1 и не превосходящих 100.

Поскольку второй игрок не может назвать простое число, начинающееся с цифры 1, первый игрок может выиграть, если он сможет "застрять" на числе, начинающемся с цифры 1, и заставить второго игрока назвать число, которое уже было названо ранее.

Наименьшее простое число, начинающееся с цифры 1, и не превосходящее 100 - это 11. Таким образом, первый игрок может начать с числа 11. Затем, независимо от выбора второго игрока, первый игрок может назвать 2 (следующее простое число), и теперь второй игрок не может назвать число, начинающееся с цифры 2 (так как оно уже было названо), и у него остается только один вариант - назвать число 3. После этого первый игрок может назвать 5 (следующее простое число), и теперь второй игрок может только назвать число 53 (единственное простое число, начинающееся с цифры 5 и не названное ранее). После этого первый игрок называет число 7, и у второго игрока не остается вариантов, и он проигрывает.

Таким образом, первый игрок может гарантированно обеспечить себе выигрыш, называя всего 4 простых числа (11, 2, 5, 7).

Ответ: 4.