Question

Математика,решите пожалуйста. Решить однородное уравнение 1 порядка sin3x=cos3x

Answer 1

Разделим обе части уравнения на cos3x (cos3x не равно 0) ВАЖНО! COS3X НЕ РАВЕН 0, ПОТОМУ ЧТО НА 0 ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!
Sin3x/cos3x=1
tg3x=1
3x=Пn+П/4
X=Пn/3+П/12, n принадлежит z

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества:

1. Используем формулу для синуса тройного угла: sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

2. Используем формулу для косинуса тройного угла: cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Теперь уравнение примет вид: 3sin(x) - 4sin^3(x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Перенесем все члены синусов на одну сторону, а все члены косинусов на другую сторону: 3sin(x) - 4sin^3(x) - 4cos^3(x) + 3cos(x) = 0

Теперь заменим синус и косинус через тангенс и разделим на общий множитель (cos(x) - sin(x)): (3sin(x) + 3cos(x))(1 - 4sin^2(x)cos^2(x)) = 0

Так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1, то: 1 - 4sin^2(x)cos^2(x) = 1 - 4sin^2(x)(1 - sin^2(x)) = 1 - 4sin^2(x) + 4sin^4(x) = (1 - 2sin^2(x))^2

Теперь уравнение примет вид: (3sin(x) + 3cos(x))(1 - 2sin^2(x))^2 = 0

Решим две части уравнения:

1. (3sin(x) + 3cos(x)) = 0: Разделим обе части на 3: sin(x) + cos(x) = 0

   Теперь используем тригонометрическую формулу суммы: sin(x + π/4) = sin(x)cos(π/4) + cos(x)sin(π/4) = (1/√2)(sin(x) + cos(x))

   Исходное уравнение тогда станет: sin(x + π/4) = 0

   Теперь решим уравнение: x + π/4 = kπ, где k - целое число x = kπ - π/4

2. (1 - 2sin^2(x))^2 = 0: Решим уравнение внутри квадратных скобок: 1 - 2sin^2(x) = 0

   2sin^2(x) = 1

   sin^2(x) = 1/2

   sin(x) = ±√(1/2)

   Так как sin(π/4) = √(1/2), то: x = π/4 + 2kπ, где k - целое число или x = 3π/4 + 2kπ, где k - целое число

Итак, решение уравнения: x = kπ - π/4, где k - целое число или x = π/4 + 2kπ, где k - целое число или x = 3π/4 + 2kπ, где k - целое число