Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А1(2;6; 8), А2(3 ;6;7), А3(1;0;4),

Answer 1

Ответ: 6x - 5y + 6z = 30

Пошаговое объяснение:

Уравнение плоскости задается уравнением Ax +By + Cz = D

Подставим координаты всех 3 точек в это уравнение и получим систему:

2A + 6B + 8C = D

3A + 6B + 7C = D

A + 4C = D

Вычитая первое из второго получим:

A - C = 0 ⇒ A = C

A + 4C = D ⇒ D = 5C

2A + 6B + 8C = D ⇒ 6B = -5C ⇒ B = -5/6C

Подставим все коэффициенты в уравнение плоскости:

Ax +By + Cz = D

Cx -5/6Cy + Cz = 5C

Сократим на C и умножим на 6:

6x - 5y + 6z = 30

Answer 2

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через данные точки, мы можем воспользоваться общей формулой уравнения плоскости.

Уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это некоторые константы.

Для того чтобы найти значения A, B, C и D, подставим координаты трех точек (А1, А2, А3) в уравнение плоскости и получим систему уравнений. Затем решим эту систему.

Подставим координаты точек А1(2;6;8), А2(3;6;7) и А3(1;0;4) в уравнение плоскости:

A * 2 + B * 6 + C * 8 + D = 0 (1) A * 3 + B * 6 + C * 7 + D = 0 (2) A * 1 + B * 0 + C * 4 + D = 0 (3)

Теперь решим систему уравнений, например, используя метод Гаусса или подставления.

Для удобства заменим уравнение (3) на уравнение (3)' для устранения переменной D:

A + 4C = 0 (3)'

Выполним операции над уравнениями, чтобы устранить переменную D:

Умножим уравнение (1) на -1: -A * 2 - B * 6 - C * 8 - D = 0

Прибавим к уравнению (2): A * 3 + B * 6 + C * 7 + D = 0 -A * 2 - B * 6 - C * 8 - D = 0

A + B - C = 0 (4)

Теперь у нас есть система уравнений:

A + B - C = 0 (4) A + 4C = 0 (3)' A * 3 + B * 6 + C * 7 + D = 0 (2)

Теперь решим систему уравнений. Выразим A и B через C из уравнений (4) и (3)':

A = -4C (5) B = 5C (6)

Теперь подставим полученные значения A и B в уравнение (2):

(-4C) * 3 + (5C) * 6 + C * 7 + D = 0 -12C + 30C + 7C + D = 0 25C + D = 0

Теперь, чтобы найти значение D, подставим одну из точек, например, А1(2;6;8), в уравнение плоскости:

25C + D = 0 25C + D = 25 * 2 + 6 + 8 25C + D = 50 + 6 + 8 25C + D = 64 D = 64 - 25C

Теперь у нас есть значения A, B, C и D:

A = -4C B = 5C C - произвольное действительное число D = 64 - 25C

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через данные точки, будет иметь вид:

-4C * x + 5C * y + C * z + (64 - 25C) = 0

Можно также провести сокращения:

-4Cx + 5Cy + Cz + 64 = 0

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через точки А1(2;6;8), А2(3;6;7) и А3(1;0;4).