Question

Вы изучили несколько формул сокращённого умножения. В математике известны и другие формулы сокращённого умножения. Представьте, что у вас проект по математике, в рамках которого необходимо доказать ещё несколько таких формул. Задание 1 С помощью правила умножения многочленов и определения степени с натуральным показателем выведите формулы куба разности (a−b)3 и куба суммы двух выражений (a+b)3 . Задание 2 Используя рисунки, вывести формулу квадрата трёхчлена (a+b+c)2 и формулу квадрата четырёхчлена (a+b+c+d)2

Answer 1

(a−b)³= а³-3а²b+3ab²-b³
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
(a+b+c+d)²=a²+2ab+b²+c²+d²+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd

Answer 2

Задание 1: Куб разности и куб суммы двух выражений

Для вывода формул куба разности и куба суммы, воспользуемся правилом умножения многочленов и определением степени с натуральным показателем.

1. Куб разности (a - b)^3: Для этого раскроем скобки согласно правилу умножения многочленов для куба: (a - b)^3 = (a - b)(a - b)(a - b)

Теперь раскроем первую пару скобок (a - b)(a - b): (a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2

Теперь умножим результат на третью скобку (a - b): (a^2 - 2ab + b^2)(a - b) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3

Теперь объединим подобные члены: a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Итак, формула куба разности (a - b)^3: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

2. Куб суммы (a + b)^3: Для этого раскроем скобки согласно правилу умножения многочленов для куба: (a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b)

Теперь раскроем первую пару скобок (a + b)(a + b): (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2

Теперь умножим результат на третью скобку (a + b): (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3

Теперь объединим подобные члены: a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Итак, формула куба суммы (a + b)^3: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Задание 2: Квадрат трёхчлена (a + b + c)^2 и квадрат четырёхчлена (a + b + c + d)^2

1. Квадрат трёхчлена (a + b + c)^2: Для выведения формулы квадрата трёхчлена, давайте визуализируем квадрат, состоящий из трех членов (a + b + c) в каждом измерении.

   cssCopy code
             a    b    c
          +-----------------
      a | a^2  ab   ac
      b | ab   b^2  bc
      c | ac   bc   c^2
   

Теперь объединим все члены в одно выражение: (a + b + c)^2 = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2

Теперь объединим подобные члены: (a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2

Итак, формула квадрата трёхчлена (a + b + c)^2: (a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2

2. Квадрат четырёхчлена (a + b + c + d)^2: Аналогично, давайте визуализируем квадрат, состоящий из четырех членов (a + b + c + d) в каждом измерении.

   cssCopy code
             a    b    c    d
          +---------------------
      a | a^2  ab   ac   ad
      b | ab   b^2  bc   bd
      c | ac   bc   c^2  cd
      d | ad   bd   cd   d^2
   

Теперь объединим все члены в одно выражение: (a + b + c + d)^2 = a^2 + ab + ac + ad + ab + b^2 + bc + bd + ac + bc + c^2 + cd + ad + bd + cd + d^2

Теперь объединим подобные члены: (a + b + c + d)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + 2ad + b^2 + 2bc + 2bd + c^2 + 2cd + d^2

Итак, формула квадрата четырёхчлена (a + b + c + d)^2: (a + b + c + d)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + 2ad + b^2 + 2bc + 2bd + c^2 + 2cd + d^2

Это были выводы формул куба разности, куба суммы, квадрата трёхчлена и квадрата четырёхчлена. Надеюсь, это поможет вам в вашем проекте по математике!