Question

А) вертикальные асимптоты; Если x=t точка разрыва функции и lim-> t f(x)=бесконечность, то x=t вертикальная асимптота. б) наклонная асимптота; y=kx+b k=lim->бесконечность f(x)/x b=lim->бесконечность (f(x)-kx) уравнение f(x)=x^2+6x-9/x+4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) В точке разрыва - только вертикальные асимптоты: Х=t.

b) Наклонные асимптоты уходят в бесконечности.

Дано: f(x) = (x²+6*x-9)/(x+4)

Разрыв при Х = - 4 - вертикальная асимптота.

Наклонная - y = lim f(x)/x = x + (??? - на рис. b = +3)

Answer 2

А) Вертикальные асимптоты:

Вертикальная асимптота функции f(x) находится в точке x = t, если выполняются два условия:

1. Существует предел функции f(x) при x, стремящемся к t: lim (x -> t) f(x) = ∞ (бесконечность).
2. Значение функции f(x) не определено при x = t, т.е., функция становится неограниченной в этой точке.

Б) Наклонные асимптоты:

Наклонная асимптота функции f(x) имеет уравнение y = kx + b, где k и b находятся следующим образом:

1. Вычисляем k, как предел f(x)/x при x стремящемся к ±∞.
2. Вычисляем b, как предел (f(x) - kx) при x стремящемся к ±∞.

Теперь рассмотрим функцию f(x) = (x^2 + 6x - 9) / (x + 4) и найдем ее вертикальные и наклонные асимптоты:

1. Вертикальные асимптоты: Когда x стремится к -4, знаменатель функции становится равным нулю, что приводит к разрыву функции. Поэтому x = -4 - вертикальная асимптота.

2. Наклонные асимптоты: Когда x стремится к ±∞, f(x) можно аппроксимировать делением на x, так как степень числителя и знаменателя одинакова. Вычислим k:

k = lim (x -> ±∞) f(x) / x k = lim (x -> ±∞) (x^2 + 6x - 9) / (x * (x + 4)) k = lim (x -> ±∞) (x + 6 - 9/x) / (x + 4)

При x, стремящемся к ±∞, слагаемое 9/x становится пренебрежимо малым, и мы можем опустить его:

k = lim (x -> ±∞) (x + 6) / (x + 4)

При x, стремящемся к ±∞, слагаемое 6/x становится также пренебрежимо малым, и мы можем опустить его:

k = lim (x -> ±∞) (x/x) = lim (x -> ±∞) 1 = 1

Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение y = x + b. Теперь найдем b:

b = lim (x -> ±∞) (f(x) - kx) b = lim (x -> ±∞) ((x^2 + 6x - 9) / (x + 4) - x) b = lim (x -> ±∞) ((x^2 + 6x - 9 - x(x + 4)) / (x + 4)) b = lim (x -> ±∞) ((x^2 + 6x - 9 - x^2 - 4x) / (x + 4)) b = lim (x -> ±∞) ((2x - 9) / (x + 4))

При x, стремящемся к ±∞, слагаемое 9/x становится пренебрежимо малым, и мы можем опустить его:

b = lim (x -> ±∞) (2x / (x + 4))

Для вычисления предела, поделим каждое слагаемое на x:

b = lim (x -> ±∞) (2 / (1 + 4/x))

При x, стремящемся к ±∞, слагаемое 4/x становится пренебрежимо малым, и мы можем опустить его:

b = 2 / 1 = 2

Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение y = x + 2.

Итак, для функции f(x) = (x^2 + 6x - 9) / (x + 4) вертикальная асимптота - это x = -4, а наклонная асимптота - это y = x + 2.