Question

Квадрат с целочисленной стороной разрезали на 2020 квадратов. Известно, что площади 2019 квадратов равны 1, а площадь 2020-го – не равна 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь 2020-го квадрата. В ответе наименьшее из полученных значений площади.

Answer 1

Пусть длина стороны исходного квадрата равна x, а сторона квадрата разбиения, отличная от 1, равна y. Квадрат со стороной y не может прилегать ко всем сторонам исходного квадрата, поэтому x, а, значит, и y, – натуральные числа. Имеем:  x² – y² = 24.  Поскольку  x² – y² = (x + y)(x – y)  и числа  x + y  и  x – y  одной чётности, то < x + y = 6,  x – y = 4  либо  x + y = 12,  x – y = 2.  В первом случае  x = 5,  y = 1,  что не удовлетворяет условию  y ≠ 1.  Во втором –  x = 7,  y = 5.  Так что площадь исходного квадрата равна 49.

Ответ

49.

Answer 2

Давайте обозначим сторону большего квадрата через a, тогда его площадь равна a^2.

Мы знаем, что этот квадрат разрезан на 2020 квадратов. Площади 2019 из них равны 1, и площадь последнего квадрата (2020-го) обозначим через b^2.

Таким образом, у нас есть уравнение:

(a^2) = 2019 * 1 + b^2

a^2 = 2019 + b^2

Теперь давайте рассмотрим возможные значения b^2. Мы знаем, что b^2 > 1, так как площадь 2020-го квадрата не равна 1.

Один из возможных вариантов: b^2 = 2

Тогда получим:

a^2 = 2019 + 2

a^2 = 2021

Наименьшее возможное значение площади a^2 - это 2021.

Ответ: Наименьшее значение площади 2020-го квадрата составляет 2021.