Question

вписанной в прямоугольный треугольник окружность делит в точке касания один из катетов на 6 и 10 от вершины прямого угла Найдите периметр треугольника

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник следующим образом:

Пусть треугольник ABC прямоугольный, где C - прямой угол, а AB - гипотенуза. Пусть точка касания окружности с катетом AC обозначена как D, а с катетом BC - как E.

Так как окружность вписана в треугольник, то касательные к катетам являются их биссектрисами, а значит, AD = 6 и BE = 10.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ADC. Он является прямоугольным, так как AD - касательная к окружности, а DC - катет прямоугольного треугольника ABC. Мы можем применить теорему Пифагора:

AC^2 = AD^2 + DC^2 AB^2 = AD^2 + BD^2

Зная, что AD = 6 и BD = BE = 10, мы можем выразить DC:

AC^2 = 6^2 + DC^2 AB^2 = 6^2 + 10^2

Теперь, чтобы найти периметр треугольника ABC, нам нужно выразить каждую из сторон через AC и AB.

AC^2 = 6^2 + DC^2 AC^2 = 36 + DC^2 DC^2 = AC^2 - 36 DC = √(AC^2 - 36)

AB^2 = 6^2 + 10^2 AB^2 = 36 + 100 AB^2 = 136 AB = √136

Теперь, периметр треугольника ABC:

Периметр = AC + AB + BC Периметр = AC + √136 + DC + 10

Мы знаем, что касательная к окружности и радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярны. Поэтому DC и BE параллельны и образуют прямоугольный треугольник DBE. Так как DBE - подобный треугольник ADC, и AD/BD = 6/10 = 3/5, то DC/BE = 3/5.

DC + BE = AC √(AC^2 - 36) + 10 = AC AC^2 - 36 = AC^2 - 20AC + 100 20AC = 136 AC = 136/20 AC = 6.8

Теперь, периметр треугольника ABC:

Периметр = AC + √136 + DC + 10 Периметр = 6.8 + √136 + √(6.8^2 - 36) + 10 Периметр = 6.8 + √136 + √(46.24 - 36) + 10 Периметр = 6.8 + √136 + √10.24 + 10 Периметр = 6.8 + √136 + 3.2 + 10 Периметр = 30.8 + √136

Таким образом, периметр треугольника ABC составляет около 30.8 + √136 единиц длины. Чтобы получить точное числовое значение, нужно вычислить квадратный корень из 136 и сложить с 30.8.