Question

Нужно найти экстремумы функции f(x) = 12x^5 +15x^4 - 40x^3 +60

Answer 1

F (x)=12x^5+15x^4-40x^3+60
f (x)'=(12x^5+15x^4-40x^3+60)'
f (x)'=(12x^5)'+(15x^4)'-(40x^3)'+(60)'
f (x)'=12×5^4+15×4^3-40×3^2=60^4+60^3-
-120^2

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции $f(x) = 12x^5 + 15x^4 - 40x^3 + 60$, нужно найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти точки, где производная равна нулю. Эти точки могут представлять собой экстремумы (максимумы или минимумы) функции.

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (12x^5 + 15x^4 - 40x^3 + 60)$

Для нахождения производной, применим правило дифференцирования степенной функции: $\frac{d}{dx} (x^n) = n \cdot x^{n-1}$

Применим это правило к каждому слагаемому функции $f(x)$: $f'(x) = 5 \cdot 12x^4 + 4 \cdot 15x^3 - 3 \cdot 40x^2 + 0$ $f'(x) = 60x^4 + 60x^3 - 120x^2$

Шаг 2: Найдём точки, в которых производная равна нулю. Для этого решим уравнение $f'(x) = 0$: $60x^4 + 60x^3 - 120x^2 = 0$

Шаг 3: Факторизуем уравнение и найдём корни: $60x^2(x^2 + x - 2) = 0$

Теперь решим получившееся квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$ с помощью формулы дискриминанта или других методов.

$x^2 + x - 2 = 0$

Данное квадратное уравнение можно решить по формуле дискриминанта: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 1$, $b = 1$, $c = -2$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}$

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

Шаг 4: Теперь найдём значения функции $f(x)$ в найденных точках и в точках, где $f'(x)$ не существует (если такие есть). Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, нужно проанализировать знак изменения производной вокруг этой точки.

$f(1) = 12 \cdot 1^5 + 15 \cdot 1^4 - 40 \cdot 1^3 + 60 = 12 + 15 - 40 + 60 = 47$

$f(-2) = 12 \cdot (-2)^5 + 15 \cdot (-2)^4 - 40 \cdot (-2)^3 + 60 = -384 + 120 - 160 + 60 = -364$