Question

Решить уравнения: 1) 3sin2x + cos2x = 1 2) cos4x + 2sin4x = 1 Буду признателен, если также напишите объяснение решения.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) возведем в квадрат обе части:

9sin²2x + cos²2x + 6sin2xcos2x = 1

8sin²2x + 6sin2xcos2x = 0 |:sin²2x≠0

sin2x(4sin2x + 3cos2x) = 0

sin2x = 0 или 4sin2x + 3cos2x = 0

2x = πk, k∈Z

x = πk/2, k∈Z

4sin2x + 3cos2x = 0

4 + 3ctg2x = 0

ctg2x = -4/3

2x = arcctg(-4/3) + πn, n∈Z

x = arcctg(-4/3)/2 + πn/2, n∈Z

Ответ: arcctg(-4/3)/2 + πn/2, n∈Z, x = πk/2, k∈Z

2) cos4x + 2sin4x = 1

возведем в квадрат:

cos²4x + 4sin²4x + 4cos4xsin4x = 1

3sin²4x + 4cos4xsin4x = 0

sin4x(3sin4x + 4cos4x) = 0

sin4x = 0

x = πk/4, k∈Z

3sin4x + 4cos4x = 0

3 + 4ctg4x = 0

x = arcctg(-0,75)/4 + πn/4, n∈Z

Ответ: x = arcctg(-0,75)/4 + πn/4, n∈Z, x = πk/4, k∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди:

1. 3sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Перед тем, как продолжить, заметим, что мы можем заменить sin^2(x) на (1 - cos^2(x)) с использованием тригонометрической тождества: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Теперь перепишем уравнение:

3(1 - cos^2(x)) + cos^2(x) = 1

Раскроем скобки:

3 - 3cos^2(x) + cos^2(x) = 1

Объединим переменные:

3 - 2cos^2(x) = 1

Теперь выразим cos^2(x):

2cos^2(x) = 3 - 1

2cos^2(x) = 2

Теперь разделим обе стороны на 2:

cos^2(x) = 1

Теперь найдем значения x, для которых косинус квадрат равен 1. Косинус квадрат равен 1, когда сам косинус равен ±1. Таким образом, у нас есть два случая:

1. cos(x) = 1

2. cos(x) = -1

3. Если cos(x) = 1, то это происходит при x = 2πn, где n - целое число.

4. Если cos(x) = -1, то это происходит при x = π + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, решения уравнения 3sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

x = 2πn и x = π + 2πn, где n - целое число.

2. cos^4(x) + 2sin^4(x) = 1

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, и можем использовать это, чтобы выразить sin^4(x):

sin^4(x) = (sin^2(x))^2 = (1 - cos^2(x))^2

Теперь подставим это обратно в уравнение:

cos^4(x) + 2(1 - cos^2(x))^2 = 1

Раскроем скобки:

cos^4(x) + 2(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) = 1

Распределим 2:

cos^4(x) + 2 - 4cos^2(x) + 2cos^4(x) = 1

Объединим переменные:

3cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1 = 1

Теперь приведем подобные слагаемые на левой стороне:

3cos^4(x) - 4cos^2(x) = 0

Факторизуем:

cos^2(x)(3cos^2(x) - 4) = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. cos^2(x) = 0

2. 3cos^2(x) - 4 = 0

3. Если cos^2(x) = 0, то cos(x) = 0. Это происходит при x = π/2 + πn, где n - целое число.

4. Если 3cos^2(x) - 4 = 0, то 3cos^2(x) = 4, и, следовательно, cos^2(x) = 4/3. Однако, это уравнение не имеет действительных решений, так как косинус квадрат не может быть больше 1.

Таким образом, решение уравнения cos^4(x) + 2sin^4(x) = 1:

x = π/2 + πn, где n - целое число.